Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R³ является некоторая поверхность Q. Выберем на ней точку .

Определение.Касательной плоскостью к поверхности Q в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

.

Если уравнение поверхности Q задано неявной функцией

, то:

, .

Подставим значения частных производных в уравнение касательной:

.

Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке в случае неявного задания функции имеет вид

Определение. Точка, в которой или хотя бы одна из этих производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.

Определение.Нормалью к поверхности Q в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Запишем уравнения нормали к поверхности в точке , пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости:

Если поверхность Q задана неявно функцией то уравнения нормали принимают вид

.

Пример.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано явной функцией. Вычислим частные производные функции в точке :

, ,

, .

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

.

Найдем уравнения нормали:

Пример.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке

, , ,

, , .

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид

.

Находим уравнения нормали

.