Полный дифференциал функции нескольких переменных
Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
.
Сумма первых двух слагаемых есть главная линейная (относительно и ) часть приращения функции.
Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается
.
Приращения независимых переменных и называют дифференциалами независимых переменных и и обозначают соответственно и . Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде:
или в более краткой форме: .
Пример. Найти полный дифференциал функции .
Решение. для .
Пример. Найти полный дифференциал функции .
Решение. Найдем частные производные функции:
,
.
Следовательно,
для .
Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, полным дифференциалом функции трех переменных в точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции, т. е.
.
Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что для функции можно полагать , а для функции , зависящей от трех переменных , для , .
Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:
,
.
И в общем случае,
.
Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.
Например, если задана дифференцируемая функция переменных . Тогда абсолютная погрешность вычислений по этой формуле оценивается величиной
,
а относительная погрешность ― величиной .
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 325;