Дифференцирование функции, заданной неявно


 

Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные и :

.

 

Например, уравнение определяет функцию , при этом D E R.

 

Уравнение выполняется только при и задает точку . Уравнение не определяет никакой функции на R,так как оно не имеет действительных корней, а значит, нельзя рассматривать как функцию от . Итак, уравнение вида не всегда задает функцию .

 

Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо у функцию , то получим тождество

.

 

Придадим приращение , тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции , но с другой стороны

.

Разность также равна нулю:

.

 

Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Разделим последнее равенство на :

.

Откуда

.

 

Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно:

.

Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам.

 

Например, для функции справедливо:

, .

Пример.Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

.

Пример.Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

.

 

Пример.Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением .

Решение. , , . Следовательно,

,

.




Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 381;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.