Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные высших порядков.Пусть функция имеет непрерывные частные производные и в точке D( ). Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных и . Будем называть и частными производными первого порядка.
Частные производные по и по от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядкаот функции в точке и обозначаются
, , ,
(если дифференцируется последовательно два раза по );
, , ,
(если дифференцируется сначала по , а затем по );
, , ,
(если дифференцируется сначала по , а затем по );
, , ,
(если дифференцируется последовательно два раза по ).
Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . В результате получим восемь частных производных третьего порядка:
, , , , , , , .
Аналогично, частная производная от производной -го порядка называется частной производной -го порядкаи обозначается
, , и т. д.
Частные производные высших порядков функции , взятые по различным переменным, например, , , , и т.д., называются смешанными производными.
Среди частных производных второго порядка функции имеются две смешанные производные и .
Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.
Справедлива следующая
Теорема.Если функция и ее частные производные , , и определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то .
Замечание. Данная теорема, а также все приведенные выше рассуждения имеют место и для функции любого числа переменных.
Пример.Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение. Функция определена и непрерывна на R2 . Найдем частные производные первого порядка
, .
Они определены и непрерывны на R2. Найдем частные производные второго порядка
, ,
.
Дифференциалы высших порядков.Пусть — функция двух независимых переменных и , дифференцируемая в области D( ). Придавая и приращения , , в любой точке D можно найти полный дифференциал
,
который называют дифференциалом первого порядка функции .
Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке D , если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается
.
Найдем аналитическое выражение для , считая и постоянными:
.
Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для дифференциала третьего порядка :
.
Замечание. Приведенные выше формулы дифференциалов не обладают свойствами инвариантности для сложных функций.
Пример.Найти и , если .
Решение. Используем формулу для вычисления полного дифференциала .
, .
Для определения вычислим предварительно частные производные второго порядка:
, ,
.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 377;