С бесконечными пределами интегрирования (I рода)

Пусть функция интегрируема на любом отрезке . Тогда несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются следующим образом:

(3.1)

(3.2)

(3.3), где с – произвольное число (обычно с=0).

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях формул (3.1), (3.2), (3.3). Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися.

Существуют три признака сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода:

1. Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . Этот признак называется признаком сравнения.

2. Если при и существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Этот признак называется предельным признаком сравнения.

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры.

Выяснить, сходятся ли интегралы:

1)

2)