От неограниченных функций (II рода)
Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет разрыв II рода при x=b. Тогда несобственные интегралы от неограниченной функции определяются следующим образом:
(3.4)
Если предел, стоящий в правой части равенства (3.4) существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично, если функция имеет разрыв II рода в точке x=a, то полагают:
(3.5)
Если функция имеет разрыв II рода во внутренней точке , то (3.6)
В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба правые интегралы сходятся.
Существуют два признака сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода:
1. Если на промежутке функции и непрерывны, при x=b имеют разрыв II рода и удовлетворяют условиям , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
2. Пусть на промежутке функции и непрерывны и при x=b имеют разрыв II рода. Если существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Примеры.
1)
2)
Лекция 13
Числовые ряды
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида:
(13.1)
где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда; - общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n:
=f(n) (1.2)
Сумма первых n членов ряда (13.1) называется частичной суммой ряда и обозначается : (13.2)
Рассмотрим последовательность частичных сумм:
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (13.1), то этот предел называют суммой ряда (13.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают сумму ряда так:
(13.3)
Если не существует или , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:
1) Если ряд (1.1) сходится и его сумма S, то ряд
(13.4),
где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна сS. Если же ряд (1.1) расходится и с≠0, то и ряд (13.4) расходится.
2) Если сходится ряд (13.1) и сходится ряд и их суммы равны S1 и S2 соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого ряда соответственно равна .
Следствия:
а) сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд;
б) сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть сходящимся или расходящимся рядом.
3) Если к ряду (13.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (13.1) сходятся или расходятся одновременно.
Следствие: если ряд (13.1) сходится, то его остаток:
(13.5) стремиться к нулю при n→∞, т.е. .
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 340;