Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции
Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции f(x) на интервале (a; b), если в любой точке x интервала (a; b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F′(x), равную f(x), или дифференциал F′(x)dx= f(x)dx.
Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на интервале (a; b), то, очевидно, и функция F(x)+ C, где С – любое постоянное число, также является первообразной функции f(x) на интервале (a; b). Естественно возникает вопрос о том, как связаны между собой различные первообразные одной и той же функции f(x). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 1. Если F1(x) и F2(x) – любые две первообразные функции f(x) на интервале (a; b), то всюду на этом интервале F1(x) - F2(x) = C, где C- некоторая постоянная.
Следствие.Если функция F(x) является одной из первообразных функции f(x) на интервале (a; b), то любая первообразная Ф(х) функции f(x) на этом интервале имеет вид Ф(х)=F(x)+C, где C- некоторая постоянная.
Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале (a; b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается формулой:
(1.1)
В формуле (1.1) знак называется знаком интеграла, выражение f(x)dx -подынтегральным выражением, сама функция f(x) – подынтегральной функцией, переменная х – переменной интегрирования.
Подчеркнем, что если первообразная функции f(x) на интервале (a;b) (а стало быть, и неопределенный интеграл от этой функции) существует, то в формуле (1.1) подынтегральное выражение f(x)dx равно дифференциалу dF(x) любой из первообразных F(x) функции f(x).
На вопрос о существовании у функции f(x) первообразной и неопределенного интеграла отвечает следующая теорема.
Теорема 2 (Теорема Коши). У любой непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) существует на этом интервале первообразная и неопределенный интеграл.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство “параллельных” кривых y=F(x)+C. Каждому значению С соответствует определенная кривая семейства. График каждой первообразной называется интегральной кривой.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 343;