Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть дана функция , определенная на отрезке [a;b], где a<b. Разобъем отрезок [a;b] на частичные отрезки произвольной длины [x₀;x₁], [x₁;x₂],…, [x_n-1;x_n], так что x₀=a, x_n=b (x₀<x₁<…<x_n). На каждом частичном отрезке выбираем произвольную точку и вычислим значения функции в каждой из этих точек . Составим произведения , где - длина частичного отрезка. Составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке [a;b].

Обозначим частичный отрезок наибольшей длины . Будем увеличивать число разбиений отрезка [a;b] на частичные отрезки, т.е. n→∞, не изменяя длину самого отрезка [a;b]. При этом →0. Найдем при этих условиях . Предел частичной суммы, если он существует, не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек на них. Этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a;b] и обозначается:

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, [a;b] – область интегрирования.

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл существует.

Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако, определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющем на нем конечное число точек разрыва.

Из определения определенного интеграла следуют свойства:

- определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования = = , так как интегральная сумма не зависит от того, какой буквой обозначить ее аргумент;

- определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю , так как длина отрезка равна нулю;

- для любого действительного числа с: , так как при этом .