Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение , где и - многочлены n-ой и m-ой степеней соответственно.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя: n<m.

Рациональная дробь называется неправильной, если степень многочлена числителя больше или равна степени многочлена знаменателя: .

Теорема. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:

, где - многочлен- частное, - остаток (многочлен степени k<m).

Интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочлена R(x) и правильной дроби :

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей четырех типов. Для этого необходимо многочлен знаменателя разложить на линейные и квадратные множители, найдя его корни, т.е.

, где - корни многочлена, , квадратные многочлены вида не имеют действительных корней.

Тогда правильную рациональную дробь можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

, где

- некоторые действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Отметим, что общее число этих коэффициентов равно степени многочлена .