Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения

Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения [З].

Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i, ..., т. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения R_j. Таким образом, имеется т отношений предпочтения R_jна множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, R₁, ...,R_m}.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.

Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А ´ А, характеризующееся функцией принадлежности m_R: А ´ А ® [0,1]. Значение m_R (a, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения аÙb .

Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:

Определение 3. Пусть А — множество альтернатив и m_R — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, m_R) описывается функцией принадлежности

Определение 4. Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых m_R^НД (а) = 1, а множество таких альтернатив

Определение 5. Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности m_B (a) является множество {а½а Î А, m_B > 0}.

Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.

1. Строится нечеткое отношение Q₁, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, m_Q1):

2. Строится нечеткое отношение Q₂:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A,m_Q2):

Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа w_j в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

3. Отыскивается пересечение множеств m_Q1^НД и m_Q2^НД:

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества

Наиболее рациональной альтернативой из множества А^НД является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.