Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Барометрическая формула – зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Рассмотрим идеальный газ в равновесном состоянии внутри куба с ребром . Давление газа на рани куба обусловлено ударами молекул. Молекулы находятся в однородном поле тяготения, температура постоянна, масса всех молекул одинакова.

Действительно, молекулы любого газа в реальности находятся в поле тяготения Земли.

Тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если считать, что плотность газа по всему объёму постоянна то аэростатическое давление на глубине , будет равно:

, (1)

где – ускорение свободного падения.

Формулой (1) можно пользоваться для вычисления давления очень тонких горизонтальных слоёв газа.

Пусть – давление газа на высоте . Тогда с увеличением высоты на бесконечно малую величину давление понизится на величину:

. (2)

Из уравнения Менделеева –Клапейрона следует, что плотность газа равна:

(3)

Тогда:

, (4)

или

. (5)

Проинтегрируем (5) от до (при ):

,

где – давление на высоте .

Тогда барометрическая формула примет вид:

, (6)

Из выражения (6) получим: .

Давление газа связано с концентрацией молекул:

, (7)

где – число молекул в единице объёма (концентрация молекул).

При , получим:

, (8)

где – концентрация молекул при давлении (при ).

Тогда уравнение (6) примет вид: .

Так как ,а , где – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения Земли.

Получаем распределение Больцмана:

При постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если ,то , т.е. повышение температуры ведёт к выравниванию концентрации молекул газа по объёму.

Если , то , т.е. все молекулы под действием силы тяжести будут опускаться на дно сосуда.

Атмосфера Земли существует лишь вследствие теплового движения частиц воздуха.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Рис. 115.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Чем выше температура , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести может изменяться за счёт двух величин: ускорения и массы частиц . Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте (рис. 115). На рис.115 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.