Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе уравнения (14) предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы газа находятся в поле тяготения Земли, поэтому их концентрация с высотой уменьшается. Покажем это.

Рассмотрим газ в сосуде (см. рис. 3). Если атмосферное давление на высоте h равно Р, то на высоте h+dh оно равно Р+dP (при dh>0 dP<0, т.к. давление с высотой убывает). Разность давлений Р и Р+dP равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием 1 м²: Р -(Р+dP)=rgdh, где r - плотность газа. Следовательно,

dP= -rgdh. (19)

Воспользовавшись уравнением Клапейрона-Менделеева РV= RT , находим, что . Подставив это выражение в (19), получим

или . (20)

Интегрируя (20) от h=0 до h находим, .Проведя потенцирование получим барометрическую формулу. , (21)

где m₀=M/N_A, k=R/N_A.

Эта формула была впервые установлена в 1821 г. Лапласом.

Анализ барометрической формулы (21) показывает, что чем больше молярная масса М газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами.

Следует иметь в виду, что применимость формулы (21) к реальной атмосфере несколько ограничена, поскольку атмосфера в действительности не находится в тепловом равновесии, и ее температура меняется с высотой. Тем не менее, ее используют, определяя высоту по изменению давления.

Формулу (21) можно преобразовать, если воспользоваться выражением (9) Р=nkT

, (22)

где m₀gh=W_п - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т.е.

. (23)

Больцман доказал, что формула (21) справедлива в случае потенциального поля любой природы (т.е. не только поля тяготения). В связи с этим функцию (23) называют распределением Больцмана.