Работа неконсервативных сил

Рассмотрим систему n материальных частиц.

Пусть при их взаимодействии друг с другом возникают только консервативные силы , , …, . Это внутренние силы системы. Кроме того, на элементы системы действуют и внешние силы:

консервативные: , , …,

и

неконсервативные: , , …, .

Для каждого элемента системы запишем в векторном виде уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона):

.

Домножим скалярно все эти уравнения на элементарные перемещения соответствующих частиц: .

.

Сложим эти n уравнений:

.

Первое слагаемое слева — изменение кинетической энергии системы:

. (7.1)

Второе слагаемое — это сумма работ только консервативных сил (внешних и внутренних): как мы знаем, работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы с обратным знаком, т.е. её убыли:

;

.

Правая часть уравнения (7.1) — это работа внешних неконсервативных сил.

Таким образом:

.

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2:

.

Мы пришли к следующему важному выводу:

.

Работа, совершаемая внешними неконсервативными силами при переходе системы из одного состояния в другое, равна изменению механической энергии системы.

Следующий пример показывает, как эффектно может быть использован полученный результат при решении задач.

С наклонной плоскости высотой 0.5 м и длиной 1 м без начальной скорости соскальзывает небольшая шайба. Определить коэффициент трения шайбы о плоскость, если у основания плоскости скорость шайбы равнялась 2.45 м/с (рис. 7.2).

h = 0.5 м l = 1 м V = 2.45 м/с

Рис. 7.2

Рассмотрим механическую энергию шайбы в начальный момент (1) и в конце спуска (2):

E₁ = + U₁ = U₁ = mgh;

E₂ = + U₂ = = ;

Нулевой уровень потенциальной энергии выбран на основании наклонной плоскости.

Изменение механической энергии равно работе неконсервативных сил = E₂ – E₁. В данном случае это сила трения F = mN = mmgCosa.

Работа силы трения при соскальзывании шайбы отрицательна:

= –F_тр × l = –mmgCosa × l.

Теперь соберём все эти данные:

–mmgCosa × l = E₂ – E₁ = – mgh.

Откуда:

.

Здесь мы очень кстати вспомнили, что Cosa = .

Подставив числовые значения, получим: m = 0.22.

Результат, как и следовало ожидать, безразмерный:

.