Простейший входящий поток

Определение.Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия. Простейший поток вызовов является наиболее распространенной моделью реального потока заявок, применяемой в системах массового обслуживания. В большинстве задач прикладного характера замена реальных потоков на простейшие с теми же интенсивностями приводит к получению решения, которое мало отличается от истинного [7]. Математическое моделирование показало [7], что в большинстве случаев эта погрешность ограничена 3–5 % и лишь в редких случаях 10–12 %, что вполне приемлемо при решении прикладных задач. Однако, как указано в работах [8–10], имеются особые условия, когда эта погрешность может достигнуть значительных величин. В связи с этим необходимо использовать модели потоков более сложного характера.

Математическая модель простейшего потока. Определим вероятности поступления потока k (k = 1, 2, …) вызовов на отрезке времени [t₀, t₀ + t): P_k(t₀, t₀ + t). Исследования будем проводить на отрезке времени [t₀, t₀ + t + t), который можно представить состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков [t₀, t₀ + t + t) = [t₀, t₀ + t) + [t, t + t).

Для того чтобы в течение отрезка [t₀, t₀ + t + t) поступило точно k вызовов, необходимо, чтобы за первый промежуток времени [t₀, t₀ + t) поступило k, или k–1, …, или k–i, …, или 0 вызовов, а за второй промежуток соответственно 0, или 1, …, или i, …, k вызовов.

Введем обозначения: P_k[t₀, t₀ + t + t) – вероятность поступления точно k вызовов за отрезок времени [t₀, t₀ + t + t); P_k-i[t₀, t₀ + t) – вероятность поступления k-i вызовов за первый отрезок времени [t₀, t₀ + t); P_i[t, t + t) – вероятность поступления точно i вызовов за второй отрезок времени [t, t + + t). Согласно определению простейший поток является стационарным. Из этого следует, что вероятности поступления того или иного числа вызовов (заявок) за отрезки времени [t₀, t₀ + t + t); [t₀, t₀ + t), [t, t + t) не зависят от моментов начала отсчета времени, а зависят только от длины отрезков времени. Поэтому упростим обозначения как отрезков, так и вероятностей: [t₀, t₀ + t + t) будем обозначать как [t + t); [t₀, t₀ + t) – как [t); [t, t + t) – как [t); P_k(t₀, t₀ + t + t) – как P_k(t + t); P_k-i(t₀, t₀ + t) – как P_k-i(t); P_i(t, t + t) – как P_i(t).

Простейший поток – это поток без последействия. Поэтому независимыми являются события, заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность поступления точно k вызовов за время [t + t) для каждой регистрации i = 0, 1, …, k составляет P_k(t + t)_i = P_k-i(t)P_i(t), i = 0, 1, …, k. Поскольку реализации с i = 0, 1, …, k представляют несовместимые события, то согласно формуле полной вероятности имеем

(2.3)

Выражение (2.3) представляет собой систему, состоящую из бесконечного числа уравнений. Устремим отрезок времени t к нулю. Вследствие ординарности простейшего потока p₂(t, t – t) = 0(t), t ® 0. Вероятности поступления 2, 3, … вызовов: P₂(t), P₃(t) и т.д. – есть бесконечно малые более высокого порядка по отношению к t. Следовательно, в системе уравнений (2.3) вероятности P_i имеют конечные значения только при i, равном 0 и 1. На основании этого (2.3) преобразуется к виду

P_k(t + t) = P_k–1(t) P_i(t) + P_k(t) P₀(t) + 0(t), k = 0,1, … t ® 0. (2.4)

Определим P₁(t) и P₀(t):

P₁(t) = p₁(t) – p₂(t); P₀(t) = p₀(t) –p₂(t).