Основы теории стохастической индикации
Индикатор любого случайного события является случайной величиной, обладающей следующими свойствами [7,11]
|

Из соотношения (7.1) следует
(7.2)
Поскольку случайные переменные обозначаются символом , то сформулированный выше (2.2) единожды неопределённый предикат
<
будет представлять собой неопределённое высказывание или, другими словами, случайное событие
. Здесь неопределённость ситуации заложена в неопределённость переменной
, являющейся случайной величиной. Для определения вероятности p этого высказывания достаточно знать закон распределения (функцию распределения) случайной величины (нагрузки)
и заданное значение сопротивляемости (прочности)
, то есть
. (7.3)
Пусть - индикатор множества A = (
. Тогда из выражений (7.2),(7.3) следует, что
, (7.4)
а плотность и функция распределения
случайной величины
примут вид [7,11,12]
(7.5)
(7.6)
где - дельта-функция;
- единичная функция.
Поскольку противоположные гипотезы A и всегда образуют полную группу, поэтому всегда имеет место формула
На основе (7.5), (7.6) числовые характеристики индикатора могут быть определены следующим образом [5]
; (7.7)
(7.8)
Таким образом, как это следует из выражения (7.7), вероятность случайного события равна математическому ожиданию его индикатора
[5].
В рассматриваемом случае (7.8) дисперсия характеризует степень неопределённости предиката
При этом, как это следует из свойств плотности , максимальная неопределённость будет при медианном значении случайной величины
, то есть
[5,7].
Пусть в предикате , случайной является переменная
. Тогда будет иметь место единожды неопределённый предикат
, то есть случайное событие
, зависящее от неслучайной переменной
. Тогда
(7.9)
где - индикатор множества A =
.
Из выражения (7.9) видно, что в рассматриваемом случае
. (7.10)
Индикатор графически представлен на рис 7.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Рис 7.1 Индикатор случайного события
.
Пусть переменная также случайна, тогда имеет место неравенство
и, следовательно, случайное событие
, в свою очередь, зависит также и от случайной величины
. В этом случае предикат
становится уже дважды неопределённым.
При этом сразу же встаёт задача определения вероятности события .
При независимости случайных величин и
, что является наиболее важной практической задачей с учетом (7.9) и формулы полной вероятности, а также с учетом возможных значений случайных величин
и
, имеют место зависимости
и
, откуда
(7.11)
(7.12)
С учётом изложенного выше ввёдем в выражениях (7.11), (7.12) следующие обозначения
(7.13)
(7.14)
с учётом которых выражения (7.11) и (7.12) преобразуются к виду
(7.15)
Случайные величины и
называются стохастическими индикаторами.
Из (7.11), (7.12), (7.13) следует, что
откуда (7.16)
где - соответственно функции распределения индикаторов
и
, представленные в единичных квадратах на рис. 7.2а, 7.2б, на которых априорные вероятности событий
и
равны их усредненным априорным вероятностям
и
.
Заштрихованные площади над кривыми функций распределения и
, показанные на рис. 7.2а и 7.2б, геометрически представляют собой математические ожидания
и
случайных величин
и
.
Кроме того, обозначив через уровень гарантии интересующего нас события, то есть вероятность того, что событие
или
произойдет (станет достоверным), можно, отложив на оси ординат значение
, и, войдя с ним в графики (рис. 7.2а и 7.2б) до пересечения с кривыми
,
, и, отложив на оси абсцисс точку пересечения, получить значения
и
, то есть гарантированные значения вероятностей выполнения событий
или
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

|
Рисунок 7.2a – Функция
распределения
1-го стохастического
индикатора.
Дата добавления: 2016-09-26; просмотров: 2358;