V. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙТЕХНИКИ

ПОНЯТИЕ О ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ И ЛОГИЧЕСКОМ УСТРОЙСТВЕ

Для обозначения различных предметов, понятий, действий поль­зуются словами. Слова строятся из букв, которые берутся из не­которого их набора, называемого алфавитом.

В цифровой технике для тех же целей пользуются кодовыми словами. Особенность этих слов состоит в том, что все они имеют одинаковую длину (т. е. представляют собой последовательность букв одинаковой длины) и для их построения используется про­стейший алфавит, состоящий лишь из двух букв. Эти буквы при­нято обозначать символами 0 и 1. Таким образом, кодовое слово в цифровой технике есть последовательность символов 0 и 1 опреде­ленной длины, например 10111011. Такими словами могут пред­ставляться и числа, в этом случае 0 и 1 совпадают по смыслу с обычными арабскими цифрами. При представлении кодовым сло­вом некоторой нечисловой информации, чтобы отличать буквы 0 и 1 от цифр, будем эти буквы называть соответственно логическим нулем и логической единицей.

Если длина кодовых слов составляет n разрядов, то можно по­строить 2ⁿ различных комбинаций — кодовых слов. Например, при n=3 можно построить 2³ = 8 слов: 000, 001, 010, O11, 100, 101, 110, 111.

Информация, которая передается между отдельными узлами (блоками) сложного цифрового устройства, представляется в ви­де кодовых слов. Таким образом, на входы каждого узла поступа­ют кодовые слова, на выходе узла образуется новое кодовое сло­во, представляющее собой результат обработки входных слов. Вы­ходное слово зависит от того, какие слова поступают на входы уз­ла. Поэтому можно говорить, что выходное слово есть функция, для которой аргументами являются входные слова. Для того что­бы подчеркнуть особенность таких функций, состоящую в том, что сама функция и ее аргументы могут принимать значения лог. 0 и лог. 1, будем эти функции называть функциями алгебры логики (ФАЛ).

Устройства, предназначенные для формирования функций ал­гебры логики, в дальнейшем будем называть логическими устрой­ствами или цифровыми устройствами.

Цифровые устройства (либо их узлы) можно делить на типы по различным признакам.

По способу ввода и вывода кодовых слов различают логические устройства последовательного, параллельного и смешанного дей­ствия.

На входы устройства последовательного действия символы ко­довых слов поступают не одновременно, а последовательно, сим­вол за символом (в так называемой последовательной форме). В такой же последовательной форме выдается выходное слово.

На входы устройства параллельного действия все n символов каждого входного кодового слова подаются одновременно (в так называемой параллельной форме). В такой же форме образуется на выходе выходное слово. Очевидно, при параллельной форме приема и выдачи кодовых слов в устройстве необходимо иметь для каждого разряда входного (выходного) слова отдельный вход (выход).

В устройствах смешанного действия входные и выходные ко­довые слова представляются в разных формах. Например, вход­ные слова — в последовательной форме, выходные — в параллель­ной. Устройства смешанного действия могут использоваться для преобразования кодовых слов из одной формы представления в другую (из последовательной формы в параллельную или наобо­рот).

По способу функционирования логические устройства (иихсхемы) делят на два класса: комбинационные устройства (и со­ответственно комбинационные схемы) и последовательностные уст­ройства (последовательностные схемы).

В комбинационном устройстве (называемом также автоматом без памяти) каждый символ на выходе (лог. 0 или лог. 1) опре­деляется лишь символами (лог. 0 или лог. 1.), действующими в дан­ный момент времени на входах устройства, и не зависит от того, какие символы ранее действовали на этих входах, В этом смысле комбинационные устройства лишены памяти (они не хранят све­дений о прошлом работы устройства).

В последовательностных устройствах (или автоматах с памя­тью) выходной сигнал определяется не только набором символов, действующих на входах в данный момент времени, но и внутрен­ним состоянием устройства, а последнее зависит от того, какие наборы символов действовали во все предшествующие моменты времени. Поэтому можно говорить, что последовательностные уст­ройства обладают памятью (они хранят сведения о прошлом ра­боты устройства).

Рассмотрим примеры комбинационного и последовательностного устройств.

Пусть устройство предназначено для формирования на выходе сигнала, определяющего совпадение сигналов на вхо­дах: на выходе формируется лог. 1 в случаях, когда на обоих вхо­дах действует лог. 1 либо на обоих входах действует лог. 0; если на одном из входов действует лог. 1, а на другом—лог. 0, то на выходе устройства образуется лог. 0. Такое устройство являет­ся комбинационным, в котором значение формируемой на выходе логической функции определяется лишь значениями ее аргумен­тов в данный момент времени.

Рассмотрим другой пример. Счетчик подсчитыва­ет импульсы. В каждый момент времени его состояние соответст­вует числу поступивших на вход импульсов. Выходная информа­ция определяется тем, каково было состояние счетчика до данно­го интервала времени и поступает или нет на вход импульс в этом интервале времени. Таким образом, данное устройство является последовательностным устройством.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В классической математике для задания функции обычно ис­пользуются два способа: аналитический (запись формулой) и таб­личный (таблицами значений функции, какие приводятся, напри­мер, в справочниках). Подобными же способами могут задаваться логические функции.

При использовании табличного способа задания логических функций строится так называ­емая таблица истинности, в которой приводятся все возможные сочетания значений аргументов и соответствующие им значения логической функции. Так как число таких сочетаний конечно, таб­лица истинности позволяет определять значение функции для лю­бых значений аргументов (в отличие от таблиц математических функций, которые позволяют задавать значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргументов).

Таблица истинности функций двух аргументов представлена в табл. 1. Существует всего четыре функции одного аргумента.

Таблица 1.

Если число аргументов функ­ции равно n, то число различных сочетаний (наборов) значений ар­гументов составляет 2ⁿ, а число различных функций п аргумен­тов—2²ⁿ. Так, при n=2 число наборов значений аргументов равно 2²=4, число функций 2⁴=16. Таблица истинности логических функций двух аргументов представлена в табл. 2.

Таблица 2.

Возможен и аналитический способ записи логической функ­ции. В обычной математике аналитический способ представления функции предполагает запись функции в виде математического вы­ражения, в котором аргументы функции связываются определен­ными математическими операциями. Подобно этому аналитиче­ский способ задания логической функции предусматривает запись функции в форме логического выражения, показывающего, какие и в какой последовательности должны выполняться логические операции над аргументами функции.

Функции одного аргумента (табл. 1) представляются следу­ющими выражениями:

f1(x) = 0 (константа 0); f2(x)=x;

f3(х) = f4(х) = 1 (константа 1).

Устройства, реализующие функции f1(x), f2(x) и f4(x), оказы­ваются тривиальными. Таким образом, из всех функций одного аргумента практический ин­терес может представлять лишь функция f3(х), которую называют инверсией или логическое НЕ.

Из таблиц истинности функций f0 – f15 (табл. 2) наиболее широко используемыми являются:

f1(x1,x2) = x1*x1 – конъюнкции, логическое произведение, И;

f7(x1,x2) = x1 + x2 – дизъюнкции, логическое сложение, ИЛИ;

f14(x1,x2) = – логическое ИЛИ-НЕ;

f14(x1,x2) = – логическое И-НЕ.

Остальные из приведенных в табл. 2 функций либо не используются, либо используются редко.

В дальнейшем функции одного и двух аргументов будем назы­вать элементарными логическими функциями, имея в виду, что логические выражения этих функций, содержащие не более одной логической операции, элементарны.

Свойства конъюнкции, дизъюнкции и инверсии.

Конъюнкция переменных х1 и х2 равна лог. 1 в том случае, ког­да и x1 и x2 равны лог. 1 (отсюда возникло название операции ло­гическое И).

Дизъюнкция переменных х1 и x2 равна лог. 1, если или х1 или x2 равны лог. 1 (отсюда понятно возникновение названия опера­ции логическое ИЛИ).

В тех случаях, когда число переменных больше двух, конъюнк­ция их равна лог. 1 при равенстве лог. 1 всех переменных; дизъ­юнкция равняется лог. 1, если хотя бы одна из них равна лог. 1.

В математике установлен определенный порядок выполнения операций в сложном выражении. Например, вначале выполняется операция умножения и затем операция сложения. Если требуется изменить этот порядок, ис­пользуются скобки.

Подобно этому и для сложного логического выражения уста­новлен определенный порядок выполнения операций: вначале вы­полняются операции инверсии, затем операции конъюнкции и в по­следнюю очередь операции дизъюнкции. Например, запись логиче­ского выражения х1+х2*x3+x4*x2 предполагает, что при вычисле­нии выражения

вначале выполняется операция инверсии х3, затем операции конъюнкции и в последнюю очередь — операции дизъюнкции. А если требуется нарушить это правило, используются скобки. В этом случае вначале выполняются операции в скобках (а если одни скобки вложены в другие, то вначале выполняются операции в самых внутренних скобках).

Операции конъюнкции и дизъюнкции обладают рядом свойств:

сочетательный закон : x1*(x2*x3) = (x1*x2)*x3

x1+(x2+x3) = (x1+x2)+x3;

переместительный закон: x1*x2 = x2*x1

x1+x2 = x2+x1;

распределительный закон: x1+(x2*x3) = (x1+x2) * (x1+x3).

Легко убедиться в справедливости следующих выражений:

1*х=х; х*х=х; 1+x=1; х+х=х;

0*х=0; ; 0+х=х; .

Кроме того, существуют так называемые формулы де Моргана:

Можно сформулировать следующее правило применения фор­мул де Моргана к сложным логическим выражениям. Инверсия любого сложного выражения, в котором аргументы (либо их ин­версии) связаны операциями конъюнкции и дизъюнкции, может быть представлена тем же выражением без инверсии с изменением всех знаков конъюнкции на знаки дизъюнкции, знаков дизъюнкции на знаки конъюнкции и инверсией всех аргументов.

ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.

Очевидно, могут быть построены простейшие логические эле­менты, реализующие элементарные логические функции двух пе­ременных f0,..., f15. Сложные логические функции могут быть по­строены последовательным выполнением функциональных зависи­мостей, связывающих пары переменных.

Следовательно, имея элементы, осуществляющие элементарные операции f0,..., f15 можно выполнить любую сложную логическую операцию. Такую систему функций можно назвать полной систе­мой, или базисом. Условие наличия 16 различных типов логиче­ских элементов, каждый из которых реализует одну из 16 элемен­тарных функций /о,..., /is, является достаточным для синтеза логи­ческого устройства любой сложности, но оно не является необхо­димым, т. е. при синтезе можно ограничиться меньшим набором элементарных функций, взятыхf0,..., f15.

Последовательно исключая из базиса функции, можно получить так называемый минимальный базис. Под минимальным базисом понимают такой набор функций, исключение, из которого любой функции превращает полную систему функций в неполную.

Возможны различные базисы и минимальные базисы, отличаю­щиеся друг от друга числом входящих в них функций и видом этих функций. Выбор того или иного базиса для синтеза логиче­ских устройств связан с тем, насколько просто, удобно и экономич­но технически выполнить элементы, реализующие входящие в ба­зис функции, и в целом все логическое устройство.

Как показано выше, с помощью логических операций конъюнк­ции (И), дизъюнкции (ИЛИ) и инверсии (НЕ) можно выразить любую другую из элементарных функций f0,..., f15. Следователь­но, эта совокупность логических функций образует базис. Это оз­начает, что любая логическая функция, как бы сложна она ни бы­ла, может быть представлена через логические операции И, ИЛИ, НЕ. Иначе, можно построить любое логическое устройство, имея лишь три типа логических элементов, выполняющих операции И, ИЛИ,НЕ.

Однако, базис И, ИЛИ, НЕ не является минимальным. Из этой сово­купности функций можно исключить функцию И либо функцию ИЛИ и оставшийся набор функций будет удовлетворять свойствам базиса. Действительно, если исключить функцию И, то операцию И можно выразить через оставшиеся операции ИЛИ и НЕ. Чтобы показать это, нужно дважды проинвертировать конъюнкцию и применить затем правило де Моргана.

Хотя операцию И и можно выразить через операции ИЛИ и НЕ, но это сложно (требуется выполнение трех операций инверсии и одной операции ИЛИ), поэтому на практике используется неми­нимальный базис, включающий в себя все три функции И, ИЛИ, НЕ.

В настоящее время базис И, ИЛИ, НЕ обычно используется при начальной стадии проектирования устройств для построения функциональной схемы. Для реализации устройств обычно исполь­зуются базисы И-НЕ либо ИЛИ-НЕ. Элементы этого базиса широ­ко выпускаются промышленностью в интегральном исполнении.

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.

Выше отмечалось, что логические функции и их аргументы принимают значение лог. 0 и лог. 1. При этом следует иметь в ви­ду, что в устройствах лог. 0 и лог. 1 соответствует напряжение оп­ределенного уровня (либо формы). Наиболее часто используется два способа физического представления лог. 0 и лог. 1: потенци­альный и импульсный.

При потенциальной форме для представле­ния лог. 0 и лог. 1 используется напряжение двух уровней: высо­кий уровень соответствует лог. 1 (уровень лог. 1) и низкий уро­вень соответствует лог. 0 (уровень лог. 0). Такой способ представ­ления значений логических величин называется положительной ло­гикой. Относительно редко используют так называемую отрица­тельную логику, при которой лог. 1 ставят в соответствии низкий уровень напряжения, а лог. 0 — высокий уровень. В дальнейшем, если это не оговаривается особо, будем пользоваться только поло­жительной логикой.

При импульсной форме лог. 1 соответствует наличие импульса, логическому 0 — отсутствие импульса.

Заметим, что, если при потен­циальной форме соответствующая сигналу информация (лог. 1 либо лог. 0) может быть определена практически в любой момент вре­мени, то при импульсной форме соответствие между уровнем на­пряжения и значением логической величины устанавливается в оп­ределенные дискретные моменты времени (так называемые такто­вые моменты времени).

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

Рас­смотрим основные параметры логических элементов и методы их улучшения.

Коэффициент объединения по входу определяет число входов элемента, предназначенных для подачи логических переменных. Элемент с большим коэффициентом объединения по входу имеет более широкие логические возможности.

Нагрузочная способность (или коэффициент разветвления по выходу) определяет число входов аналогичных элементов, которое может быть подключено к выходу данного элемента. Чем выше нагрузочная способность элементов, тем меньшее число элементов может потребоваться при построении цифрового устройства.

Для повышения нагрузочной способности в элементах применяют усложненную схему инвертирующей части. Повышение нагрузочной способности элемента связано с тем, что выходной транзистор, через который замы­кается ток нагрузки, удерживается в открытом состоянии большим базовым током, который обеспечивается эмиттерной цепью тран­зистора.

В выключенном состоянии элемента с простым инвертором ток в нагрузку, подается от источника питания через коллекторный ре­зистор с большим сопротивлением. Этот ре­зистор ограничивает максимальное значение тока в нагрузке (с ростом тока нагрузки увеличивается падение напряжения на Rк, уменьшается напряжение на выходе). В элементе со сложным ин­вертором в нагрузку подается эмиттерный ток транзистора , работающего в схеме эмиттерного повторителя. Так как выходное сопротивление эмиттерного повторителя мало, то выходное напря­жение слабее зависит от тока нагрузки и допустимы большие зна­чения нагрузочного тока.

Быстродействие логических элементов является одним из важ­нейших параметров логических элементов, оно оценивается за­держкой распространения сигнала от входа к выходу элемента.

Рассмотрим факторы, влияющие на быстродействие логического элемента, и методы повышения быстродействия.

Для повышения скорости переключения транзисторов в элемен­те необходимо использовать более высокочастотные транзисторы и переключение транзисторов производить большими управляющи­ми токами в цепи базы; существенное уменьшение времени за­держки достигается благодаря использованию ненасыщенного ре­жима работы транзисторов (в этом случае исключается время, необходимое на рассасывание неосновных носителей в базе при выключении транзисторов).

Задержка распространения сигнала связана также с необходи­мостью перезарядки емкости нагрузки и паразитных монтажных емкостей. Этот процесс можно ускорить следующими приемами:

уменьшением Rк (и, следовательно, уменьшением постоянной времени Rк*С); однако при этом растут потребляемые от источ­ника питания ток и мощность;

использованием в элементе малых перепадов напряжения;

применением на выходе элемента эмиттерного повторителя, уменьшающего влияние подключенной к выходу емкости нагрузки.

Помехоустойчивость определя­ется максимальным значением помехи, не вызывающей наруше­ния работы элемента.

Для количественной оценки помехоустойчивости воспользуем­ся так называемой передаточной характеристикой логического эле­мента (инвертора). На рис. 21 приведена типичная форма этой характеристики. Передаточная характеристика представляет собой зависимость выходного напряжения от входного. Для ее получения необходи­мо соединить все входы логического элемента и, изменяя напряже­ние на входе, отмечать соответствующие значения напряжения на выходе. При увеличении входного напряжения от нуля до порого­вого уровня лог. 0 -Un, напряжение на выходе уменьшается от уровня лог. 1 до некоторого минимально допустимого уровня лог. 1 – U¹min. Дальнейшее увеличение входного напряжения приводит к резкому снижению выходного. При больших значениях входного напряжения, превышающих пороговый уровень лог. 1 U¹min, на вы­ходе устанавливается напряжение, не превышающее максимально допустимого уровня лог. 0 - U⁰max. Таким образом, при нормальной работе элемента в статическом (установившемся) режиме недопус­тимы входные напряжения U⁰п < Uвx <U¹п.

Рис. 21.

Допустимыми считаются такие помехи, которые, наложившись на входное напряжение, не выведут его в область недопустимых значений U⁰п < Uвx <U¹п.