Формулы Ньютона-Котеса

Если подынтегральную функцию заменить каким-либо интерполяционным многочленом, то получим квадратурные формулы вида:

где х_к – выбранные узлы интерполяции; A_k – коэффициенты, которые зависят от выбранных узлов, но не зависят от вида функции f(x); R – остаточный член, определяющий максимальную ошибку при использовании квадратурной формулы; k=0, 1, …, n.

Разбивая отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек

x_k = x₀+kh; k=0, 1, …, n; x₀=a; x_n=b

и вычисляя подынтегральную функцию в полученных узлах

y_k=f(x); k=0, 1, …, n,

получают квадратурные формулы для равноотстоящих узлов. Эти формулы называют формулами Ньютона-Котеса. Наиболее удобны при численном интегрировании интерполяционные многочлены невысоких порядков, при использовании которых получают достаточно простые составные формулы.

(1)Формула трапеций.

Формула трапеций получается в случае использования интерполяционного многочлена 1-го порядка:

Остаточный член имеет вид:

Использование формулы трапеций при вычислении определенного интеграла приводит к ошибке

где

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла по формуле трапеций можно использовать алгоритм, схема которого представлена на рис. 5.5.

Ошибка ограничения для метода трапеций больше, нежели чем для других формул Ньютона-Котеса, но его привлекательность заключается в простой реализации. Кроме того, незначительное усложнение алгоритма позволяет существенно снизить погрешность вычислений, поэтому формула трапеций достаточно часто используется (в сочетании с другими формулами).

Например, в случае аппроксимации подынтегральной функции интерполяционным многочленом Эрмита получают формулу Эйлера:

Остаточный член этой формулы свидетельствует о том, что небольшая добавка к формуле трапеций существенно повышает ее точность.

В последней формуле значения производных можно заменить двусторонними разностями

В результате формула Эйлера превращается в формулу Грегори, но общий порядок точности понизится с четвертого до третьего.

(2) Формула парабол (Симпсона)

Используя интерполяционный многочлен 2-го порядка (параболу) получают формулу численного интегрирования – формулу Симпсона:

где

На рис. 5.6 показана схема алгоритма, реализующего вычисления по формуле парабол. При реализации формулы число узлов обязательно нечетно, т. е. число участков разбиения интервала интегрирования должно быть четным: n=2m. В алгоритме использован прием, при котором число повторений цикла уменьшается в два раза, т. е. дважды реализуется модификация параметра цикла, что уменьшает время выполнения алгоритма. Метод Симпсона считается одним из наиболее применяемых методов численного интегрирования, обеспечивающим достаточно хорошую точность вычислений.

(3)Формула Ньютона (правило трех восьмых)

Более высокую точность вычисления обеспечивает интерполирование подынтегральной функции полиномом третьей степени. В результате получают формулу Ньютона (правило трех восьмых):

где Схема алгоритма численного интегрирования по правилу трех восьмых показана на рис. 5.7 Практическое применение нашли также четвертая, пятая и шестая формулы Ньютона-Котеса, однако их использование приводит к более громоздким схемам.

Рассмотренные выше циклические структуры характеризуются одной общей особенностью – во всех рассмотренных примерах заранее можно определить число повторений тела цикла. Задачи, где число повторений заранее неопределенно, приводят к так называемым циклам с неизвестным (до начала цикла) числом повторений.

Пусть, например, надо определить интервал (a, b), внутри которого функция y=f(x)пересекает ось абсцисс (внутри этого интервала функция f(x) обращается в ноль, т. е. f(x)=0). На рис. 5.8 показано возможное решение поставленной задачи в форме соответствующего графика. Первоначально можно предположить, что искомый интервал может иметь границы a=x₀ и b=x₀+h_x. Если в указанном интервале нет искомой точки, то искать ее следует в следующем интервале (a+h_x , b+h_x). Последовательный анализ интервалов продолжается до тех пор, пока не будет достигнут искомый результат. Необходимое условие того, что функция y=f(x) пересекает ось абсцисс, может быть записано в следующем виде: y_a·y_b<0, где y_a = f(a); y_b = f(b).

На рис. 5.9 приведена схема алгоритма нахождения интервала (a, b), с использованием оператора цикла с предусловием.

y₀

y₁

y₂

y

a

b

x₀

x₁

x₂

x_n

x

h_x

Рис. 5.8 Нахождение интервала, внутри которого функция пересекает ось абсцисс

Условие продолжения цикла определено с помощью логической переменной v. Значение переменной v формируется из двух условий. С одной стороны выход из цикла возможен в тех случаях, когда найден искомый интервал (a, b), т. е. выполняется условие f(a)f(b)<0. С другой стороны, точка пересечения с осью абсцисс может отсутствовать, тогда выход из цикла осуществляется в результате достижения граничной (конечной) точки x_n. Объединенное условие продолжения цикла

Начало

Ввод x₀, h_x, x_n

a:=x₀; b:=x₀+h_x y_a:=f(a); y_b:=f(b)

v

a:=a+h_x; b:=b+h_x y_a:=f(a); y_b:=f(b)

b>x_n+h_x/2

Точки пересечения нет

Вывод a, b

Конец

Нет

Да

Да

Нет

Рис. 5.9 Схема алгоритма определения интервала, внутри которого функция пересекает ось абсцисс