Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим типы дифференциальных уравнений -го порядка, для которых можно понизить порядок уравнений.

1) Уравнение вида .

Общее решение данного уравнения можно получить путем последовательных интегрирований, а именно

;

и т.д.

Пример 1. Решить уравнение

, , .

Решение.

.

Подставив последовательно в полученные равенства начальные условия, определим :

;

;

; .

Частным решением данного уравнения будет

.

2)Уравнение вида .

Данное дифференциальное уравнение -го порядка не содержит неизвестной функции и ее производных до -го порядка. Вводим новую функцию и, следовательно, . Получим дифференциальное уравнения первого порядка , где неизвестной функцией является функция . В частном случае, когда , дифференциальное уравнение второго порядка , не содержащее неизвестной функции , подстановкой приводится к уравнению первого порядка .

Пример 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

.

Решение. Это уравнение не содержит . Полагаем , , получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Здесь , . Найдем общее решение уравнения:

.

Итак,

или

.

Получили общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Полагаем , . Тогда данное уравнение примет вид:

.

Разделим переменные

.

В результате последовательного интегрирования получим

;

К интегралу справа применим формулу интегрирования по частям, полагая

, , , .

Тогда

.

Итак, .

3)Уравнение вида .

Данное уравнение не содержит независимую переменную . Полагаем , тогда

.

Рассматриваемое уравнение примет вид:

,

где неизвестной функцией является , а независимой переменной .

Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

.

Решение. Полагая , , получим дифференциальное уравнение первого порядка

или .

Приравняем первый множитель нулю:

или , т.е. .

Функция обращает данное уравнение в тождество, следовательно, является решением. Общее решение данного дифференциального уравнения получим, проинтегрировав уравнение

.

Производя обратную замену , получим

, где .

Пример 5. Найти частное решение уравнения

при условии при .

Решение. Полагаем , и уравнение преобразуется в следующее:

или .

Получили уравнение Бернулли. Преобразуем уравнение: . Полагаем , тогда . Рассматриваемое уравнение примет вид:

или .

Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение имеет вид:

, т.е. .

Произведя обратную замену , получим

или . Из условия при имеем . Следовательно, или . Интегрируя, имеем:

.

Полагая и , получим , откуда или .

Пример 6. Если тело медленно погружается в воду, то его скорость и ускорение приближенно связаны уравнением ,

где и - постоянные. Установить зависимость между пройденным путем и временем , если при .

Решение.Так как ускорение и скорость , то зависимость между и выражается дифференциальным уравнением второго порядка

,

не содержащим неизвестной функции . Положив , , получим , или .

Проинтегрируем обе части равенства: . Определим , учтя, что

.

Подставим найденное значение в предыдущее равенство:

, или .

Откуда

, или

.

Из начального условия определим :

; .

Подставив найденное значение в предыдущее равенство, получим искомую зависимость

.