Структура общего решения ЛНДУ.

Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка

, .

Определение. Уравнение , левая часть которого совпадает с левой частью данного уравнения, называется соответствующим ему однородным уравнением.

Структура общего решения (ОР) ЛНДУ дается следующей теоремой.

Теорема. Общимрешением ЛНДУ является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего ЛОДУ: .

Теорема означает, что для того, чтобы получить общее решение ЛНДУ надо решить соответствующее ЛОДУ, т.е. найти его ОР, затем, найти какое-нибудь частное решение ЛНДУ и их сложить.

Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка

, (1) (3.20)

.

Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

. (2) (3.21)

Решение уравнения (1) (3.20) будем искать в виде

, (3) (3.22)

т.е. предполагая не постоянными, а переменными и дифференцируемыми на величинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметь условий. Продифференцируем - раз

,

каждый раз, что сумма в квадратных скобках равна нулю.

.

И т.д., найдем производную

Полагая выражение в квадратных скобках равным нулю, продифференцируем еще раз

.

Подберем так, чтобы функция (3) (3.22) являясь решением уравнения (1) (3.20). Подставляя функцию (3) (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (1) (3.20), получим

.

Так как - ФСР однородного ЛДУ, то получим последнее - ое условие относительно .

Таким образом, для нахождения неизвестных функций получили систему линейных алгебраических уравнений

(4) (3.23)

Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану , ибо - ФСР), имеем

, ,

где определители получаются из главного заменой элементов -го столбца свободными членами системы.

Пример. Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка .

Найдем вначале ФСР однородного уравнения .

Из характеристического уравнения получим

, т.е. , , поэтому , .

Подставив эти функции в (4) (3.23) получим

Отсюда

, , .

Следовательно , , , , . Окончательно получим общее решение исходного уравнения

.