ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами

. (11)
1) Пусть первая часть , где - многочлен степени .

а) Если не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в той же форме, т.е.

,

где - не определены. Для их нахождения нужно продифференцировать раз и подставить его в уравнение (11). А дальше коэффициенты находятся аналогично способу неопределенных коэффициентов при интегрировании, т.е. приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях .

Пример: Найти частное решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение , корни его , . Значит, не является корнем характеристического уравнения.

Будем искать частное решение в виде .

Найдем первую и вторую производные

,

.

Подставим в уравнение:

.

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получим

,

;

б) Пусть является корнем характеристического уравнения кратности . Тогда частное решение ищется в той же форме, но с сомножителем , т.е.

.

И далее аналогично пункту а).

Пример. .

Характеристическое уравнение имеет корни его , . Значит, является корнем характеристического уравнения кратности один. Поэтому частное решение надо искать в виде

.

Пример: .

Характеристическое уравнение имеет корни корень кратности два, т.е. . Поэтому решение ищем в виде .

Продифференцируем его дважды:

,

и подставим в уравнение. Вынося и экспоненту, получим

,

Частным решением является функция

.

2) Пусть правая часть уравнения (11) есть

.

а) Если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

,

где - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

Пример: .

Характеристическое уравнение можно представить виде , т.е. , значит не является корнем характеристического уравнения. Решение будем искать в виде .

,

,

.

Подставляя эти производные в уравнение, после сокращения получим

.

Следовательно, частным решением является функция

.

б) Если является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение неоднородного ЛДУ (11) ищется в виде

, .

Пример: .

Характеристическое уравнение

имеет корни , следовательно, является корнем кратности . Поэтому решение следует искать в виде

.

3) Пусть правая часть неоднородного ЛДУ представляет сбой сумму числа функции, т.е. .

Для наглядности рассмотрим, когда правая часть сумма двух функций

.

Будем решение искать в виде .

Тогда, подставляя его в уравнение и пользуясь свойством линейного дифференциального оператора, получим

или

.

Таким образом, если правая часть уравнения представляет собой сумму функций, то уравнение разбивается на уравнений с этими новыми правыми частями. Найдя частное решение каждого неоднородного уравнения, получим частное решение исходного уравнения в виде суммы частных решений этих уравнений.