Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Уравнение вида . (1)

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнение вида (2) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Алгоритм решения.

1. Определяем общее решение соответствующего однородного уравнения .

2. Подбираем частное решение линейного уравнения (2) (см. таблицу). Если правая часть уравнения состоит из суммы двух функций специального вида, то частное решение искать в виде . Если правая часть не принадлежит к функциям «специального вида», то подобрать вид частного решения по виду правой части и корням характеристического уравнения нельзя. В данном случае применяется метод вариации произвольных постоянных.

3. Общее решение (2) получается путем сложения по формуле .

Таблица.

Правая часть дифференциального уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
f(x) = P_m (x), где P_m (x) – многочлен степени m.	а) Число 0 не является корнем характеристического уравнения.	Q_m (x), где Q_m (x) – многочлен степени не выше m.
б) Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности k.	x^kQ_m(x)
f(x) = e^αx P_m (x), где α-вещественное число.	а) Число α не является корнем характеристического уравнения.	Q_m (x)e^αx
б) Число α является корнем характеристического уравнения кратности k.	x^k Qm (x)e^αx
f(x)=P_m(x)cosβx+Q_m(x)sinβx, где P_m(x) и Q_m(x) – многочлены степени не выше m и хоть один из них имеет степень m.	а) Число βi не является корнем характеристического уравнения.	u_m(x)cosβx+v_m(x)sinβx, где u_m(x) и v_m(x) – многочлены степени не выше m.
б) Число βi является корнем характеристического уравнения кратности k.	x^k (u_m(x)cosβx+v_m(x)sinβx)
f(x)= e^αx (P_m(x)cosβx+Q_m(x)sinβx)	а) Число α+βi не является корнем характеристического уравнения.	e^αx (u_m(x)cosβx+v_m(x)sinβx)
б) Число α+βi является корнем характеристического уравнения кратности k.	x^k e^αx (u_m(x)cosβx+v_m(x)sinβx)