Локальная теорема Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Например, если п = 50, k = 30, р = 0,1, то для отыскания вероятности надо вычислить выражение

где ,

,

.

Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли?

Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

при

Имеются таблицы (Приложение 1), в которых помещены значения функции соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция нечетна, т. е.

= – .

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна:

где

Пример 3.4. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение.

По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 1 – 0,8.

Воспользуемся формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице находим

Искомая вероятность