ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Энергетическое условие пластичности может быть представлено в линей­ном виде:

а) тело изотропное

,

где

;

– коэффициент Лоде лежит в пределах от до ;

б) тело ортотропное

,

где

;

; .

Интенсивность деформаций (при условии постоянства объема) в случае изотроп­ного тела может быть получена по формуле

или

,

где , , – логарифмические деформации.

Если тело является ортотропным, то

.

При плоском напряженном состоянии физические уравнения имеют вид:

а) тело изотропное

,

.

б) тело ортотропное

,

.

Задачи

11.1 Стальной толстостенный цилиндр находится под действием внутреннего давле­ния . Определить предел пластического сопротивления, т.е. то наимень­шее давление , при котором весь металл перейдет в пластическое состояние (тело принять изотроп­ным). Для численного решения использовать данные за­дачи 10.7.

11.2 Определить предел текучести пластического сопротивления стального ци­лин­дра в случае цилиндрической анизотропии. Для численного решения ис­пользовать дан­ные, приведенные в задаче 10.8.

11.3 В задаче 11.1 изменить условие, считая, что действует и наружное давле­ние . Рассмотреть два случая: и .

11.4 Нанесенная на свободную поверхность листовой заготовки круглая ячейка делительной сетки диаметром на конечном этапе деформирования превратилась в эллипс, главные диаметры которого соответственно равны ; . Использовав уравнение кривой упрочнения , определить главные компоненты напряжения. Процесс деформирования считать монотонным.

Решение. Определим значения главных логарифмических деформаций:

; ;

; ;

.

Интенсивность логарифмических линейных деформаций найдем по формуле

Интенсивность нормальных напряжений рассчитываем по уравнению кривой упрочнения

.

Поскольку сетка нанесена на свободную поверхность, то напряжение, нормальное поверхности листа , является главным и равно нулю. Для определения остальных главных компонент напряжений воспользуемся соотношением Гука – Генки:

; ,

отсюда следует

;

;

;

;

11.5 На поверхность листа из сплава ОТ4-1 (см. табл.10) была нанесена коорди­натная сетка в виде кругов мм. После деформации листа круги сетки превратились в эл­липсы с размерами главных осей мм и мм. Кри­вая истинных напряжений аппроксимируется степенной функцией , где и – константы материала. В дан­ном случае , а МПа. Считая, что главные оси деформации совпадают с осями эллипса, определить значение ком­понент напряжений и деформации ( принять равным нулю). Как изменяются полу­ченные результаты, если не учитывать анизотропию материала?

11.6 Известно, что при гидростатическом выпучивании листовых материалов в цен­тре лунки . Провести сравнение интенсивностей деформаций и напряже­ний изотроп­ного материала, трансверсально-изотропного сплава (напри­мер, ОХ18Н9Т) и од­ного из ортотропных листов. Данные по коэффициенту попе­речной деформации взять из таблицы 10.

11.7 Определить значение коэффициента Лоде для материалов, указан­ных в таб­лице. Рассмотреть случае, когда , , .

11.8 Тонкостенная труба ( мм) из алюминиевого сплава с внешним диамет­ром мм подвергалась растяжению и внутреннему давлению так, что все время сохраня­лось следующее равенство между напряжениями: . Деформация проводилась вплоть до конечного осевого напряжения МПа. Принимая материал трансвер­сально-изотропным ( ) и коэффициенты степенной аппроксимации , МПа, определить конечные размеры трубы.

11.9 Найти связь между напряжениями и деформациями в пластической об­ласти, ко­гда . Рассмотреть три случая:

а) материал принят изотропным;

б) тело является трансверсально-изотропным;

в) среда – ортотропная.

Упрочнение материала аппроксимировано степенной функцией .

11.10 Длинная толстостенная труба находится под давлением. Определить на­пря­женно-деформированное состояние и размеры трубы после деформации, если известно:

а) внутреннее давление ( );

б) внешнее давление ( ).

Материал трубы (несжимаемый) последовательно принять изотропным, трансвер­сально-изотропным и ортотропным. Упрочнение принять по степенному закону.

11.11 Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толсто­стенной трубе, а также внутреннее давление , если известно изменение ра­диуса . Рассмотреть два случая: и .

Материал трубы принять по условию задачи 11.9. Задачу решить при усло­вии сте­пенного закона упрочнения.

11.12 Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толсто­стенной трубе, а также внешнее давление , если известно, что . Рассмотреть два слу­чая: и .

Материал трубы принять по условию задачи 11.9.

11.13 Найти остаточные напряжения и закрутку после упругопластического кру­чения прутка круглого поперечного сечения радиусом из идеально упругопла­стического мате­риала на угол при следующих исходных данных: предел текучести МПа, рад/м, модуль сдвига МПа, м, - номер в списке студента в группе, - номер группы.

Решение.Будем считать, что при кручении моментом плоские попереч­ные сече­ния прутка остаются плоскими и за пределом упругости материала. При этом смеж­ные поперечные сечения, отстоящие друг от друга на расстоянии , поворачиваются относи­тельно друг друга на относительный угол

,

где – угол кручения.

Согласно теореме о разгрузке А.А. Ильюшина (рис. 14):

,

где – относительный остаточный угол кручения;

– относительный угол упругой раскрутки.

Рис. 14

Величина угловой деформации равна углу, заключенному между обра­зующей круглого прутка и разверткой винтовой линии:

,

где – текущий радиус.

Напряженное состояние является плоским и осесимметричным, а матрицы тензо­ров напряжений и деформаций имеют вид

, .

При кручении моментом цилиндрического прутка в поперечных сечениях возни­кают только касательные напряжения

.

В случае упругого кручения касательные напряжения максимальны на пе­риферии при и по линейному закону уменьшаются, обращаясь в нуль в центре сече­ния (рис. 15):

Рис. 15

Действуя на кольцевую площадку , они создают элементарный мо­мент относительно оси, равный . Тогда крутящий момент в упругой области ра­вен

,

где – полярный момент инерции для круглого поперечного сечения:

.

При увеличении момента кручения касательное напряжение достигает по усло­вию пластичности Треска-Сен-Венана предельного значения

,

и в поверхностном слое прутка возникает пластическая деформация (рис. 16). При даль­нейшем увеличении пластическая деформация распространяется вглубь. Величину ра­диуса , определяющего границу между упругой и пластической зо­нами, легко найти по формуле

,

откуда

.

Рис. 16

Как видно из рис. 16, периферийные слои находятся в пластическом, а цен­тральные – в упругом состоянии. Касательные напряжения распределены в попе­речном сечении следующим образом:

Крутящий момент складывается из крутящего момента в упругой области и кру­тящего момента в пластической области :

.

После снятия внешнего момента (разгрузки) в прутке возникнут остаточ­ные каса­тельные напряжения

,

вызывающие раскручивание прутка на угол (рис. 17). Момент при упругой раз­грузке равен

.

Из условия равенства суммы моментов нагрузки и разгрузки нулю ( ) находим максимальное касательное напряжение :

,

откуда

.

Таким образом распределение остаточных касательных напряжений имеет вид

при ,

при .

Рис. 17

Из рис. 17 видно, что остаточные касательные напряжения отрицательны на внеш­ней части поперечного сечения прутка и положительны во внутренней.

Угол упругой раскрутки найдем из уравнения

.

Окончательно имеем

.

Остаточный угол кручения

.

11.13 Для толстостенной стальной трубы имеющей внутренний диаметр м и наружный диаметр м, и изготовленный из пластического материала с МПа требуется:

1. Определить внутреннее давление , при котором в материале трубы начнется пластическое течение по критерию максимальных касательных напряжений.

2. Построить эпюры распределения напряжений и по толщине стенки.

Решение.

1. По формулам из задачи 8.14 определяем давление, при котором на внутренней поверхности трубы появятся пластические деформации:

;

;

, .

.

2. С учетом того, что определяем напряжения, соответствующие началу пластичского течения:

,

.

Данные числовых расчетов сводим в табл. 11:

Таблица 11

Эпюры напряжений и приведены на рис. 18.

Рис.18