ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Основной закон упругости может быть записан в следующей форме:

,

где – упругие константы.

Применяется и следующий вид этого уравнения:

.

В случае ортотропного тела закон Гука через технические константы выра­жается таким образом:

, ;

, ;

, .

Часто вместо индексов , , принимают индексы 1, 2, 3. Например, .

Ввиду изотропного материала основной закон упругости в прямой форме выражается фор­мулами

, ;

, ;

, .

Его можно представить также и в виде двух законов: закона изменения объ­ема

и закона упругого изменения формы тела .

Здесь – объемный модуль упругости.

Закон Гука в обратной форме

, ,

, ,

, ,

где - коэффициент Ляме,

.

Модуль сдвига

.

Задачи

7.1 Определить относительные линейные, угловые и объемные деформации в изотроп­ном теле по данным табл. 7:

Таблица 7

7.2 Из уравнения, выражающего обобщенный закон упругости для изотроп­ного мате­риала, получить выражение закона Гука для следующих случаев:

а) одноосное растяжение;

б) одноосное сжатие;

в) двухосное растяжение;

г) .

7.3 Для неметаллических ортотропных материалов определены уп­ругие по­стоянные в табл. 8.

Таблица 8

Для напряженного состояния, заданного тензором

,

определить линейные, угловые и объемные деформации.

7.4 Компоненты материального тензора, входящего в уравнения упругости , при изотропном теле можно представить следующим образом:

.

Для данного случая записать закон Гука через постоянные и .

7.5 Показать, что можно разбить на две группы:

и .

Здесь и – компоненты девиаторов напряжений и деформаций.

7.6 Замерены следующие деформации табл. 9:

Таблица 9

Используя данные по упругим постоянным, приведенным в задачах 7.1 и 7.2, опре­делить напряженные состояния материала. Используя данные таблицы, представить закон Гука в виде законов изменения объема и формы тела. Пока­зать также зависимости .

7.7 Стержень длиной равномерно растянут в пределах упругой деформации на вели­чину . Определить перемещения точек тела , , и возникающие напряжения для следующих случаев:

а) стержень имеет круглое сечение;

б) стержень имеет квадратное сечение.

7.8 Определить, под действием каких сил находится круглый цилиндрический стер­жень, если его перемещения выражаются функциями

, , .

7.9 Вывести следующие зависимости между упругими постоянными:

, .

7.10 Образец упруго растянут с относительной деформацией . Модуль нор­мальной упругости 196 ГПа, коэффициент Пуассона . Определить относи­тельное изменение объема образца .

7.11 Куб размерами м подвергнут осадке на величину в преде­лах уп­ругости. Коэффициент Пуассона . Определить объемную дефор­мацию.

7.12 Стальная деталь нагружена и замерены следующие упругие деформации: , , , , . Найти напряженное состоя­ние детали, если МПа, .