Параметрические кубические кривые.

Параметрическая кубическая кривая задаётся тремя уравнениями.

 
 


x(t)=axt3+bxt2+cxt+dx

y(t)=ayt3+byt2+cyt+dy

z(t)=azt3+bzt2+czt+dz

Параметр t лежит в пределах от 0 до 1. Нам необходимо знать все коэффициенты уравнений, чтобы однозначно определить положение кривой в пространстве. В определении коэффициентов всегда используют производные.

 

 

Производные определяют касательный вектор к данной кривой. Записывают уравнения параметрических кубических кривых в различном виде. Наиболее известны форма Эрмита и форма Безье. В последнее время, в связи с развитием пространственного проектирования сложных объектов используют форму записи в виде B-сплайнов.

1) Рассмотрим форму Эрмита.

Исходными данными являются точки: касательная P1, конечная P4 и касательная вектора в этих точках. Это один приближающий участок.

 

 

R1

P4 R4


P1

 

Для кривой более сложной формы на следующем участке конечная точка становится начальной и добавляется новая конечная.

 

R4

R1

P4 R4 P4

 

P1

 

 

Таких участков может быть сколь угодно много.

X(0) = P1x

X’(0) = R1x

Аналогично по всем координатам. В конечной точке P4:

X(1) = P4x

X’(1) = R4x

 

это равно Сх

 
 


T

 

Аналогично z(t).


Совершенно аналогично для производных.

 

y’(t) и z’(t) аналогично.

Подставим в x(t) и x’(t) 0 и 1:

x(0) = P1x = [0, 0, 0, 1]* Cx

x(1) = P4x = [1, 1, 1, 1]* Cx

x’(0) = P1x = [0, 0, 1, 0]* Cx = R4x

x’(1) = P4x = [3, 2, 1, 0]* Cx = R4x

 

 

 

Эрмитова

матрица Ghx

x(t)=TMhGhx

y(t)=TMhGhy

z(t)=TMhGhz

Свойства.

1. Если перемешаем точки, то не получится использовать ту же запись, то есть сложно организовать интерактивный режим, нет относительных координат.

2. Вектора R4 и R4‘ не стыкуются, следовательно куски стыкуются не гладко.

 

2) РассмотриРаР

м форму Безье. Запись выглядит чуть лучше.

При записи в форме Безье исходными являются координаты четырёх точек.

 
 


P2

 
 

 


P1 P4

 
 

 


P3

 

P1, P2, совпадают с вектором касательной в точке P1; P3, P4 – с вектором касательной в точке P4. И к ним опущены перпендикуляры.

Исходные данные – координаты точек P1, P2, P3, P4. Математически вывели, что касательный вектор определяется по формуле:

Вектор Эрмита:

матрица вектор

Безье Безье

Тогда x(t)=T*Mhb*Mh*Gb=T*Mb*Gb, где

Таким образом, матрицы Mh(цифровая)b, Mb – числовые. В Gb подставляем координаты четырёх точек и получаем пространственное представление кривой третьего порядка.

1. Эта форма записи пригодна для использования в интерактивных режимах.

2. В точках сопряжения двух отрезков производная непрерывна и поверхность получается сглаженной без изломов.

3. Многоугольник, который образуют четыре точки всегда выпуклый. Это свойство позволяет резко упростить функции отсечения.

2) В-сплайн. Сам по себе термин сплайн перешёл в графику из кораблестроение. Там сплайн – это гибкая металлическая линейка, которая используется при нанесении разметки на корпус корабля. В-сплайн никогда не проходит по всем точкам, которые необходимы для его постройки. Выполняет сразу же функцию сглаживания.

Пример.

 

 

Запись уравнения В-сплайна отличается матрицей в формуле стоящей на втором месте и заданием векторов.

x(t) = T*Ms*Gsx, где

, где 2 £ i £ n-2

Берём первые 4 точки, рисуем участок, затем сдвиг на одну и т.д. Эти кусочки стыкуются друг с другом. Линия эта непрерывна, выполняется функция частичного сглаживания далеко стоящих точек. В настоящее время широко применяется в описании сложных 3D объектов. Особенно выгодно, когда есть макет изделия, если его склеить, получим погрешности, применим В-сплайн, получим обтекаемую поверхность. Применяется в самолётостроении.






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1875; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.013 сек.