Основы теории проверки статистических гипотез. Непараметрические критерии.




1. Статистические критерии делятся на параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии предполагают наличие нормального распределения в сравниваемых выборках и используют в процессе расчета параметры распределения (средние, дисперсии, среднее квадратическое отклонение). Например: t-критерий Стьюдента, F-критерий Фишера и др.

Непараметрические критерии не предполагают нормального распределения в сравниваемых выборках и используют в процессе расчета ранги значений признака. Например, критерий Манна-Уитни, критерий Уилкоксона, критерий знаков и др.).

Ранг - порядковый номер значения признака.

2. Для каждого параметрического критерия имеется, по крайней мере, один непараметрический аналог.

Аналогом двухвыборочного t-критерия Стьюдента является U-критерий Манна-Уитни. Аналогом парного t-критерия Стьюдента является W-критерий Уилкоксона.

U-критерий Манна-Уитни - непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух независимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно.

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 г. американским химиком и статистиком Ф. Уилкоксоном (рисунок 3.1, а). В 1947 г. метод был переработан и расширен математиками Х.Б. Манном и Д.Р. Уитни (рисунок 3.1, b).

 

a b

Рисунок 3.1. а - Ф. Уилкоксон, b - Х.Б. Манн

U-критерий подходит для сравнения малых выборок. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было 2 значения, но во второй тогда должно быть не менее пяти (n1, n2≥3 или n1=2, n2≥5).

Условием для применения U-критерия Манна-Уитни является отсутствие в сравниваемых группах совпадающих значений признака (все числа разные) или очень малое число таких совпадений.

W-критерий Уилкоксона - непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух зависимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно.

Критерий Уилкоксона применяется в случае, если объем выборки «n» удовлетворяет неравенству 5≤n≤50.

3. Схема применения критерия Манна-Уитни:

1) Н0: .

Н1: .

2) р=0,05 - уровень значимости.

3) Из двух сравниваемых выборок составляется единый ранжированный ряд.

Единый ранжированный ряд разделяется на два, состоящих из единиц первой и второй выборок, при этом отмечаются значения рангов для каждой единицы.

Подсчитывается отдельно сумма рангов, выпавших на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки.

 

, (3.1)

 

где Tx - большая из двух ранговых сумм, nx - объем выборки, соответствующий Tx, n1, n2 - объемы рассматриваемых выборок.

4) Uтабл ( ).

5) Если > , то «H0» принимается.

Если , то «H0» отвергается.

Пример 3.1. Исследуется эффективность препарата, позволяющего сбросить лишнюю массу больным, страдающим ожирением. При этом группе добровольцев предписана определенная диета.

Через месяц, с целью проверки соблюдения диеты и регулярного приема препарата, фиксируется величина потерянной массы (кг). Для проведения эксперимента отобрана группа из 8 человек. 3 из них получали исследуемый препарат (экспериментальная группа), а 5 получали плацебо (контрольная группа). Отбор 3 испытуемых из 8 в экспериментальную группу осуществлялся случайным образом. Все участники эксперимента считали, что принимают препарат.

 

Экспериментальная группа Контрольная группа
Потерянная масса, кг Потерянная масса, кг
6,2 4,0
3,0 -0,5
3,9 3,3
  1,5
  3,0

Решение.

1) Н0: .

Н1: .

a. р=0,05 - уровень значимости.

b. Составим единый ряд.

 

 

Потерянная масса, кг 6,2 3,0 3,9 4,0 -0,5 3,3 1,5 3,0
Ранг 3,5 3,5

 

Разделим единый ранжированный ряд на два, состоящих из единиц первой и второй выборок.

 

Экспериментальная группа Контрольная группа
Потерянная масса, кг Ранг Потерянная масса, кг Ранг
6,2 4,0
3,0 3,5 -0,5
3,9 3,3
    1,5
    3,0 3,5
  Т1=17,5   Т2=18,5

 

Т1 и Т2 – суммы рангов; Т1< Т2, значит Т2= Тх , nx=n2=5.

.

c. Uтабл ( )=1.

 

d. > , то «H0» принимается, т.е. препарат неэффективен.

 

4. Схема применения критерия Уилкоксона:

1) Н0: .

Н1: .

2) р≈0,05 - уровень значимости.

3) Вычисляется разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах.

Абсолютные величины разностей упорядочиваются по рангу (меньшему значению присваивается меньший ранг).

Каждому рангу ставится знак «+» или «–» в зависимости от знака соответствующей ему разности, получаются знаковые ранги.

Расчетное значение критерия Wрасч определяется из суммы знаковых рангов.

4)Wтабл ( ), где n - объем выборки.

5) Если , то «H0» принимается.

Если , то «H0» отвергается.

Пример 3.2. Проверить есть ли разница в содержании сахара в крови натощак до работы и через три часа после работы у 12 работающих на ультразвуковых установках.

 

Содержание сахара до работы Содержание сахара после работы

Решение.

1) Н0: .

Н1: .

2) р≈0,05 - уровень значимости.

 

3)

Х у х-у Знаковые ранги
4,5 4,5
-2 -2
4,5 4,5
Сумма знаковых рангов Wрасч =74

 

4) Wтабл ( )=50.

5) , то «H0» отвергается, значит есть разница в содержании сахара в крови у работников до и после работы.

 

5. В биостатистике часто проверяются гипотезы о виде распределения случайной величины.

Множество биологических и медицинских показателей (показатели физического развития, составляющие плазмы крови и др.), а также ошибки их измерения подчиняются нормальному распределению.

Поэтому важно уметь проверять гипотезы о параметрах нормально распределенных случайных величин.

Все предположения о характере того или иного распределения - являются гипотезами. Поэтому они должны подвергаться статистической проверке с помощью критериев согласия. Эти критерии дают возможность определить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными, т.е. случайными, а когда – существенными, т.е. неслучайными.

Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду.

Наиболее распространенными критериями согласия являются критерии χ2-Пирсона и Колмогорова-Смирнова.

Эти критерии применяются в двух случаях:

· для сопоставления расчетного распределения признака с теоретическим распределением (нормальным, показательным, равномерным и т.д.) (рисунок 3.2);

· для сопоставления двух расчетных распределений одного и того же признака.

 

Рисунок 3.2. Сопоставление эмпирических и теоретических частот

 

6. Схема применения критерия согласия χ2- Пирсона:

1) Н0: случайная величина «Х» имеет функцию распределения F(x).

H1: случайная величина «Х» не имеет функцию распределения F(x).

2) р=0,05- уровень значимости.

 

3) , (3.2)

 

где k - число групп, на которое разбито эмпирическое распределение, - наблюдаемая частота признака в i-й группе, - теоретическая частота.

 

4) χ2табл ( ),

где - число степеней свободы (табличное значение), k - число групп выборки, r - число параметров предполагаемого распределения (для нормального распределения r=2).

5) Если , то «H0» принимается.

Если > , то «H0» отвергается.

Критерий согласия Пирсона применяется при большом числе наблюдений (n>30), при этом частота каждой группы должна быть не менее пяти.

 

7. Схема применения критерия согласия Колмогорова - Смирнова:

1) Н0: случайная величина «Х» имеет функцию распределения F(x).

H1: случайная величина «Х» не имеет функцию распределения F(x).

2) р=0,05- уровень значимости.

 

3) , (3.3)

 

где - максимальное значение абсолютной величины разности между наблюдаемой функцией распределения Fn(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x), n - число наблюдений в статистическом ряду.

4) λтабл=1,36 (табличное значение).

5) Если , то «H0» принимается.

Если > , то «H0» отвергается.

Критерий Колмогорова-Смирнова применяется при большом числе наблюдений (n>30).

 

5. Литература:

1. Герасимов А.Н. Медицинская статистика: Учеб. Пособие. – М.: МИА, 2007. - 480 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов.- 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

3. Медик В.А., Токмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах/ Под ред. Ю.М. Комарова. Т. 1. Теоретическая статистика. - М.: Медицина, 2000. - 412 с.

4. http://matstats.ru/

 






Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 2778; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.027 сек.