Основы теории проверки статистических гипотез. Непараметрические критерии.

1. Статистические критерии делятся на параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии предполагают наличие нормального распределения в сравниваемых выборках и используют в процессе расчета параметры распределения (средние, дисперсии, среднее квадратическое отклонение). Например: t-критерий Стьюдента, F-критерий Фишера и др.

Непараметрические критерии не предполагают нормального распределения в сравниваемых выборках и используют в процессе расчета ранги значений признака. Например, критерий Манна-Уитни, критерий Уилкоксона, критерий знаков и др.).

Ранг - порядковый номер значения признака.

2. Для каждого параметрического критерия имеется, по крайней мере, один непараметрический аналог.

Аналогом двухвыборочного t-критерия Стьюдента является U-критерий Манна-Уитни. Аналогом парного t-критерия Стьюдента является W-критерий Уилкоксона.

U-критерий Манна-Уитни - непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух независимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно.

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 г. американским химиком и статистиком Ф. Уилкоксоном (рисунок 3.1, а). В 1947 г. метод был переработан и расширен математиками Х.Б. Манном и Д.Р. Уитни (рисунок 3.1, b).

a b

Рисунок 3.1. а - Ф. Уилкоксон, b - Х.Б. Манн

U-критерий подходит для сравнения малых выборок. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было 2 значения, но во второй тогда должно быть не менее пяти (n₁, n₂≥3 или n₁=2, n₂≥5).

Условием для применения U-критерия Манна-Уитни является отсутствие в сравниваемых группах совпадающих значений признака (все числа разные) или очень малое число таких совпадений.

W-критерий Уилкоксона - непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух зависимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно.

Критерий Уилкоксона применяется в случае, если объем выборки «n» удовлетворяет неравенству 5≤n≤50.

3. Схема применения критерия Манна-Уитни:

1) Н₀: .

Н₁: .

2) р=0,05 - уровень значимости.

3) Из двух сравниваемых выборок составляется единый ранжированный ряд.

Единый ранжированный ряд разделяется на два, состоящих из единиц первой и второй выборок, при этом отмечаются значения рангов для каждой единицы.

Подсчитывается отдельно сумма рангов, выпавших на долю элементов первой выборки, и отдельно - на долю элементов второй выборки.

, (3.1)

где T_x - большая из двух ранговых сумм, n_x - объем выборки, соответствующий T_x, n₁, n₂ - объемы рассматриваемых выборок.

4) U_табл ( ).

5) Если > , то «H₀» принимается.

Если , то «H₀» отвергается.

Пример 3.1. Исследуется эффективность препарата, позволяющего сбросить лишнюю массу больным, страдающим ожирением. При этом группе добровольцев предписана определенная диета.

Через месяц, с целью проверки соблюдения диеты и регулярного приема препарата, фиксируется величина потерянной массы (кг). Для проведения эксперимента отобрана группа из 8 человек. 3 из них получали исследуемый препарат (экспериментальная группа), а 5 получали плацебо (контрольная группа). Отбор 3 испытуемых из 8 в экспериментальную группу осуществлялся случайным образом. Все участники эксперимента считали, что принимают препарат.

Решение.

1) Н₀: .

Н₁: .

a. р=0,05 - уровень значимости.

b. Составим единый ряд.

Разделим единый ранжированный ряд на два, состоящих из единиц первой и второй выборок.

Т₁ и Т₂ – суммы рангов; Т₁< Т₂, значит Т₂= Т_х , n_x=n₂=5.

.

c. U_табл ( )=1.

d. > , то «H₀» принимается, т.е. препарат неэффективен.

4. Схема применения критерия Уилкоксона:

1) Н₀: .

Н₁: .

2) р≈0,05 - уровень значимости.

3) Вычисляется разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах.

Абсолютные величины разностей упорядочиваются по рангу (меньшему значению присваивается меньший ранг).

Каждому рангу ставится знак «+» или «–» в зависимости от знака соответствующей ему разности, получаются знаковые ранги.

Расчетное значение критерия W_расч определяется из суммы знаковых рангов.

4)W_табл ( ), где n - объем выборки.

5) Если , то «H₀» принимается.

Если , то «H₀» отвергается.

Пример 3.2. Проверить есть ли разница в содержании сахара в крови натощак до работы и через три часа после работы у 12 работающих на ультразвуковых установках.

Решение.

1) Н₀: .

Н₁: .

2) р≈0,05 - уровень значимости.

3)

№	Х	у	х-у			Знаковые ранги
					4,5	4,5
			-2			-2
					4,5	4,5
Сумма знаковых рангов	Wрасч =74

4) W_табл ( )=50.

5) , то «H₀» отвергается, значит есть разница в содержании сахара в крови у работников до и после работы.

5. В биостатистике часто проверяются гипотезы о виде распределения случайной величины.

Множество биологических и медицинских показателей (показатели физического развития, составляющие плазмы крови и др.), а также ошибки их измерения подчиняются нормальному распределению.

Поэтому важно уметь проверять гипотезы о параметрах нормально распределенных случайных величин.

Все предположения о характере того или иного распределения - являются гипотезами. Поэтому они должны подвергаться статистической проверке с помощью критериев согласия. Эти критерии дают возможность определить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными, т.е. случайными, а когда – существенными, т.е. неслучайными.

Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду.

Наиболее распространенными критериями согласия являются критерии χ²-Пирсона и Колмогорова-Смирнова.

Эти критерии применяются в двух случаях:

· для сопоставления расчетного распределения признака с теоретическим распределением (нормальным, показательным, равномерным и т.д.) (рисунок 3.2);

· для сопоставления двух расчетных распределений одного и того же признака.

Рисунок 3.2. Сопоставление эмпирических и теоретических частот

6. Схема применения критерия согласия χ²- Пирсона:

1) Н₀: случайная величина «Х» имеет функцию распределения F(x).

H₁: случайная величина «Х» не имеет функцию распределения F(x).

2) р=0,05- уровень значимости.

3) , (3.2)

где k - число групп, на которое разбито эмпирическое распределение, - наблюдаемая частота признака в i-й группе, - теоретическая частота.

4) χ²_табл ( ),

где - число степеней свободы (табличное значение), k - число групп выборки, r - число параметров предполагаемого распределения (для нормального распределения r=2).

5) Если ≤ , то «H₀» принимается.

Если > , то «H₀» отвергается.

Критерий согласия Пирсона применяется при большом числе наблюдений (n>30), при этом частота каждой группы должна быть не менее пяти.

7. Схема применения критерия согласия Колмогорова - Смирнова:

1) Н₀: случайная величина «Х» имеет функцию распределения F(x).

H₁: случайная величина «Х» не имеет функцию распределения F(x).

2) р=0,05- уровень значимости.

3) , (3.3)

где - максимальное значение абсолютной величины разности между наблюдаемой функцией распределения F_n(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x), n - число наблюдений в статистическом ряду.

4) λ_табл=1,36 (табличное значение).

5) Если ≤ , то «H₀» принимается.

Если > , то «H₀» отвергается.

Критерий Колмогорова-Смирнова применяется при большом числе наблюдений (n>30).

5. Литература:

1. Герасимов А.Н. Медицинская статистика: Учеб. Пособие. – М.: МИА, 2007. - 480 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов.- 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

3. Медик В.А., Токмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах/ Под ред. Ю.М. Комарова. Т. 1. Теоретическая статистика. - М.: Медицина, 2000. - 412 с.

4. http://matstats.ru/