Кинематика и динамика вращательного движения

Если точка движется по окружности радиусом R, то ее положение в пространстве удобно характеризовать углом поворота , отсчитываемым от некоторого направления. Например, на рисунке 5.2 угол отсчитывается «против хода часовой стрелки» от положительного направления оси OX.

Рисунок 5.2 - Движение точки по окружности.

Быстроту вращения характеризует угловая скорость - предел отношения приращения угла поворота к затраченному времени при условии, что , то есть первая производная от угла поворота по времени:

. (5.14)

Быстроту изменения угловой скорости характеризует угловое ускорение , равное

. (5.15)

Обычная (линейная) скорость направлена по касательной к траектории и связана с угловой скоростью соотношением

. (5.16)

Ускорение точки направлено под углом к траектории и является векторной суммой нормального (центростремительного) ускорения и тангенциального (касательного) ускорения , модули которых таковы:

. (5.17)

Рассмотрим вращательное движение абсолютно твердого (недеформируемого) тела вокруг неподвижной оси OZ (на рисунке 5.3 перпендикулярна плоскости рисунка и направлена «на нас») под действием сил , лежащих в плоскости, перпендикулярной оси OZ (силы или составляющие сил, параллельные оси OZ, очевидно, вызвать вращение тела не могут).

Рисунок 5.3 - Тело, вращающееся вокруг оси OZ под действием внешних сил.

Из второго закона Ньютона выводится основной закон динамики вращательного движения твердого тела с неподвижной осью вращения:

. (5.18)

Он напоминает по форме сам второй закон Ньютона, но содержит другие величины. Сравним (5.18) и (5.9). Вместо проекции ускорения точки на ось OX в (5.18) входит угловое ускорение всех точек вращающегося тела. Входящая в (5.9) масса m есть мера инертности точки или поступательно движущегося протяженного тела. Вместо m в (5.18) входит мера инертности тела при вращательном движении - момент инерции тела относительно оси OZ, обозначенный . Для материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси вращения,

, (5.19)

а для протяженного тела момент инерции равен сумме моментов инерции всех точек этого тела:

, (5.20)

где i=1, 2, ... N - номер точки.

Наконец, в (5.9) внешнее воздействие на точку характеризовала проекция на ось OX равнодействующей силы , а в (5.18) внешнее воздействие на вращающееся тело характеризует - суммарный момент относительно оси OZ действующих на тело внешних сил. Он равен алгебраической сумме моментов относительно оси OZ всех внешних сил, а каждый из этих моментов есть произведение силы на плечо d (кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы):

. (5.21)

В формуле (5.21) в выражении для берется знак «+», если сила вращает тело «против хода часовой стрелки» (если смотреть навстречу оси OZ), и знак «-», если сила вызывает вращение во встречном направлении.

Например, для ситуации, представленной на рисунке 5.3, (сила вращает тело «против хода часовой стрелки»), в то же время , а , так как линия действия силы проходит через ось вращения, и ее плечо равно нулю.

Зная момент инерции тела и момент внешних сил, учтя, что , решим уравнение (5.18) и найдем закон движения тела, то есть зависимость . Как и при решении аналогичного уравнения (5.10), для однозначного определения закона движения требуется информация о состоянии тела в некоторый момент. При вращательном движении эта информация сводится к данным об угле его поворота и угловой скорости в некоторый момент времени .