Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Давно известно, что давление газа над поверхностью Земли уменьшается с высотой. Атмосферное давление на некоторой высоте h обусловлено весом вышележащих слоев воздуха. Пусть на высоте h давление равно p . Тогда на высоте h + dh давление будет равно p + dp (рис.9.3). Разность давлений dp = dF/S , где dF = rSdhg вес столба воздуха в объеме Sdh , S - площадь основания цилиндра, r - плотность воздуха, g - ускорение земного притяжения. Отсюда получим

dp = -r·g·dh. (9.11)

Знак минус показывает, что давление убывает с высотой. В этом выражении кроме p и h есть еще одна переменная r = m·n , где m - масса одной молекулы, n - число молекул в единице объема. Подставляя сюда выражение для n из формулы (9.7), получим r = mp/(kT) . Подставляя это выражение в формулу (9.11), получим

dp/p = - mgdh /(kT). (9.12)

Получили дифференциальное уравнение для p как функции от h . Положим T = const . Суммируя все dp/p в пределах от p_o до p , при соответствующем суммировании правой части, когда высота изменяется от 0 до h , приходим к определенным интегралам:

= -

После интегрирования получим ln(p/p_o) = - mgh/(kT) . Потенцируя, получим

p = p_oexp[-mgh/(kT)] . (9.13)

Эта формула характеризует зависимость давления от высоты, и поэтому называется барометрической. Приборы, принцип действия которых основан на этой формуле, позволяют измерять высоту по давлению, которое существует на данной высоте. Эти приборы называются альтиметрами. Их применяют, например, в авиации.

В показатель экспоненты (9.13) входит масса молекулы. Следовательно, концентрация более тяжелых молекул будет с высотой убывать быстрее. Поэтому на больших высотах уменьшается процентное содержание кислорода по сравнению с азотом. Летчики, летающие на очень больших высотах, часто пользуются кислородными масками. Спад концентрации молекул с высотой зависит также от g (от массы планеты). Чем меньше g , тем дальше от планеты уходит газ и в конце концов ее покидает, Поэтому на малых планетах, например на Луне, атмосферы нет. На планетах с большим g, например, на Юпитере, где температура атмосферы близка к абсолютному нулю, молекулы атмосферы расположены практически слоем, напоминающим земной океан.

Барометрическая формула является частным случаем распределения Больцмана. Согласно формуле (9.7) давление пропорционально концентрации молекул n . Поэтому формулу (9.13) можно представить в следующем виде

n = n_oexp[-mgh /(kT)], (9.14)

где n_o - число молекул в единице объема при h = 0 . На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии E_п = mgh . Вводя E_п в формулу (9.14), получим

n = n_oexp[-Eп /(kT)]. (9.15)

Больцман показал, что распределение (9.15) справедливо не только в поле земного тяготения, но и в любом потенциальном поле любых сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом движении. В соответствии с этим распределение (9.15) называют распределением Больцмана (по имени выдающегося австрийского физика, получившего его в 1896 г.). Центробежное потенциальное поле сил, намного превышающих силы земного притяжения, возникает в центрифугах. Распределение (9.15) позволяет рассчитать распределение частиц в этом поле и затем провести оптимально разделение по слоям изотопов различных элементов, мельчайших шлиф-порошков и т.д.