Понятие случайной величины
Случайной величиной называется числовая функция X = X ( ) от элементарных событий . Таким образом, случайная величина определена на множестве элементарных исходов и в зависимости от случая принимает разные числовые значения. Из этого определения случайных величин следует, что на них распространяются все правила действий с обычными функциями: их можно складывать, вычитать, перемножать и т. д.
Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами.
Пример. Пусть множество элементарных исходов состоит из шести равновероятных исходов , = 1, 2,…, 6. Определим на этом множестве следующие случайные величины:
а) Х ( ) = 1, Х ( ) = 2, Х ( ) = 3, Х ( ) = 4, Х ( ) = 5, Х ( ) = 6;
б) Y ( ) = 1, Y ( ) = 0, Y ( ) = 1, Y ( ) = 0, Y ( ) = 1, Y ( ) = 0;
в) Z ( ) = -1, Z ( ) = 1, Z ( ) = -1, Z ( ) = 1, Z ( ) = -1, Z ( ) = 1.
Сумма случайных величин X и Y дает новую случайную величину W, которая определяется из равенства
W ( ) = X ( ) + Y ( ).
Следовательно,
W ( ) = 2, W ( ) = 2, W ( ) = 4, W ( ) = 4, W ( ) = 6, W ( ) = 6.
Произведение случайных величин Y и Z даст другую новую случайную величину V, определенную равенством
V ( ) = Y ( ) · Z ( ).
Из этого равенства следует
V ( ) = -1, V ( ) = 0, V ( ) = -1, V ( ) = 0, V ( ) = -1, V ( ) = 0.
Пример. В схеме независимых испытаний Бернулли множество состоит из элементарных событий (цепочек) = ( , , …, ), где = 1, если при -м испытании произошел успех, и = 0 в случае неудачи. Случайная величина X = X ( ) = + +…+ равна числу успехов при испытаниях в схеме Бернулли.
Любую константу С можно рассматривать как частный случай случайной величины X = X ( ) ≡ С. Такие случайные величины называются вырожденными. Простейшими случайными величинами, отличными от вырожденных, являются индикаторы. С каждым событием можно связать случайную величину
= ( ) = 1, если А; = ( ) = 0, если А,
называемую индикаторомсобытия А. Индикаторы удовлетворяют следующим легко проверяемым свойствам:
= 0, = 1, = , = 1 – .
Если события и несовместны, то
= + .
Пусть < < … < – всевозможные значения случайной величины X. Из определения случайной величины и основных свойств вероятностей можно найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает свои возможные значения , = 1, 2,…, . Обозначим через событие, состоящее из всех тех элементарных исходов , для которых X ( ) принимает значение : = { | X ( ) = }. Тогда вероятность того, что X примет значение , равна { }. В зависимости от значений событие может оказаться невозможным, состоять из одного исхода, из двух и даже из всего множества элементарных исходов.
В вышеприведенном примере для случайной величины нетрудно получить следующие вероятности ее числовых значений:
{ = 0} = 1/2, { = 1} = 1/2,
а для величины W
{W = 2} = 1/3, {W = 4} = 1/3, {W = 6} = 1/3.
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1772;