Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли

Если события, связанные с различными испытаниями, являются причинно-независимыми, то вышеописанный составной эксперимент называется последовательностью независимых испытаний. В математической модели такой последовательности соответствующие события должны быть независимы и в теоретико-вероятностном смысле.

Последовательность независимых испытаний иногда называют схемой независимых испытаний или полиномиальной схемой.

Пусть в каждом независимом испытании может наступить один из исходов, причем их вероятности не зависят то номера испытания (однородная схема). Вероятность того, что в испытаниях полиномиальной схемы исход «1» наступил раз, исход «2» – раз, …, исход «r» – раз, будет тогда определяться равенством (полиномиальной формулой)

, (15)

где – вероятность -го исхода в отдельном испытании ; , , …, – целые неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству + + …+ = .

Пример. Найти вероятность того, что среди 20 случайно выбранных цифр имеется ровно 10 четных цифр, две «тройки» и три «семерки».

◄ Для вычисления искомой вероятности данный опыт представим как последовательность 20 независимых испытаний, в каждом из которых возможно появление одного из четырех исходов: 1 – четная цифра, 2 – тройка, 3 – семерка, 4 – все остальное. Вероятности этих исходов равны соответственно , , ( ). По формуле (15) получим

.►

На практике часто приходится рассматривать последовательности с двумя исходами ( ): прибор за рассматриваемый период времени работал нормально или отказал; изделие оказалось годным или дефектным; на лотерейный билет получен выигрыш или нет и т. д.

Частный случай последовательности независимых испытаний, в котором каждое испытание может закончиться одним из двух исходов, называют схемой Бернулли. Обычно один из этих исходов условно называют «успехом» (исход ), а другой – «неудачей» (исход ), а их вероятности обозначают ( ) и соответственно. Для схемы Бернулли часто представляет интерес событие ={в испытаниях наступило ровно успехов}. Вероятность этого события определяется формулой (формулой Бернулли)

, (16)

которая получается из формулы (15), если положить , , . В частности, вероятность того, что событие («успех») произойдет во всех испытаниях, , а вероятность того, что он не произойдет ни разу, .

Пример. Система, состоящая из 10 блоков, сохраняет работоспособность, если за рассматриваемый период времени выйдет из строя не более двух блоков, Найти вероятность безотказной работы системы в предположении, что отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 0,1.

◄ В качестве модели используем схему Бернулли с 10 испытаниями. Каждое испытание заключается в работе одного из блоков за рассматриваемый период. Назовем «успехом» выход блока из строя. Нас интересует событие ={система работает безотказно}. Тогда , где ={из строя вышло блоков}. Используя формулу (16), получим

.►

Вероятность , определяемая формулой (16), есть функция целочисленного аргумента . Поведение этой функции следующее: она в начале при возрастании возрастает, достигает максимума, а затем убывает. Наиболее вероятное число успехов (наивероятнейшее число) (т. е. число, для которого для всех =0, 1, 2, …, ) находится из двойного неравенства .

Пример. В схеме Бернулли вероятность исхода («успеха») равна 3/5. Найти число наступлений исхода , имеющего наибольшую вероятность, если число испытаний равно а) 19, б) 20.

◄ При =19 имеем , а . Таким образом, максимальная вероятность достигается при двух значениях , равных 11 и 12.

При =20 находим , а . Поскольку не является целым числом, то будем иметь единственное максимальное значение вероятности при =12, которое больше , но меньше . ►