Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Пусть – число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при достаточно больших значениях
.
Приближенная формула
, где
, , (19)
– функция Лапласа или интеграл вероятности
(значения последнего интеграла табулированы и приводятся в справочниках по теории вероятностей), дает хорошее приближение, когда достаточно велико, а и не очень близки к нулю (обычно достаточно выполнение условия >20).
Пример. Две симметричные монеты подбрасываются 1000 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что число выпадений двух гербов заключено между 236 и 264.
◄ По условию задачи =1000, (т. к. всего элементарных исходов этого опыта 4, а событию {ГГ} благоприятствует один из них), , . Имеем , , , , . По формуле (19) находим . ►
С помощью формулы (19) можно оценить вероятность отклонения ( ) частоты в испытаниях Бернулли от вероятности успеха :
. (20)
Из этой формулы вытекает, что отклонения частоты от вероятности имеют порядок , т. е.
(теорема Бернулли). (21)
Для оценки вероятности того, что отклонение частоты в схеме Бернулли от вероятности не больше , можно использовать неравенство
. (22)
Если задать сколь угодно малое число ( ) и найти из равенства , то согласно (22) при с вероятностью, не меньшей , частота будет находиться в пределах .
Пример. Сколько раз надо подбросить симметричную монету, чтобы с вероятностью 0,90 частота отличалась от (вероятности выпадения герба) не более чем на 0,01?
◄ Используем формулу (20). По условию задачи , , . Тогда , откуда . Используя таблицу значений функции , получаем и, следовательно, . ►
Лекция №14
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2658;