Случайные величины в общей схеме

В случае произвольного вероятностного пространства случайной величиной называется такая функцияX = X ( ) от элементарных исходов , для которой при любом численном значении неравенство {X ≤ } является событием. Вероятность этого события {X ≤ } называется функцией распределения. Таким образом, функция распределения случайной величины X определяется формулой

= {X ≤ x}. (3)

Функция распределения обладает следующими свойствами:

a) 0 ≤ ≤ l, – < x < ;

b) F_X (– ) = 0, F_X (+ ) = 1;

c) - неубывающая функция на всей оси;

d) непрерывна справа, т. е. = .

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный интервал действительной оси ( , ] определяется формулой

= – . (4)

Различают случайные величины дискретного типа и случайные величины непрерывного типа. Определение дискретных случайных величин и их законов распределения дано выше. Зная закон распределения таких величин, можно вычислить функцию распределения, представляющую собой, в силу определения (3), функцию накопленных вероятностей:

(5)

где суммирование распространяется на все значения индекса , для которых < . Это ступенчатая функция, которая принимает постоянное значение на любом интервале, не содержащем значений случайной величины . Ее точки разрыва – это ее возможные значения , а скачки в точках разрыва – соответствующие вероятности .

Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа, если существует такая неотрицательная функция , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех R

= {X ≤ } = . (6)

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

a) ≥ 0, – < x < ;

b) =l (условие нормировки);

c) = в точках непрерывности функции .

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси, причем

{Х = } = = 0 при всех x R.

Это значит, что вероятность «попасть в точку» для непрерывной случайной величины, равна нулю.

Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность ее попадания на интервал ( , ] может быть вычислена как через функцию распределения по формуле (4), так и через плотность распределения вероятностей:

{ < Х ≤ } = . (7)

Пример. Функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины. Найти: значение нормирующей постоянной , функцию распределения, вероятность

{0< Х ≤ 1}.

◄ Постоянную находим из условия нормировки плотности распределения =l: = = = =1 . Итак, .

Функцию распределения найдем исходя из определяющей ее формулы (6): = = = = .

По формуле (7) находим искомую вероятность {0< Х ≤ 1}:

{0< Х ≤ 1} = = = = =

= . Этот результат можно получить и с помощью функции распределения по формуле(4): = – = –

– = . ►