Формула полной вероятности

Пусть – наблюдаемые события для данного опыта, причем система множеств { } образует разбиение множества элементарных исходов этого опыта, т. е. выполняются следующие условия: , при любых , 1, 2, …, . Для любого наблюдаемого в опыте события имеет место следующая формула (формула полной вероятности):

. (13)

События принято называтьгипотезами по отношению к событию . Безусловные вероятности , для которых должно выполняться равенство , трактуются как априорные(доопытные) вероятности гипотез. Для вычисления вероятности интересующего нас события по формуле (13) важно удачно подобрать набор гипотез. Если зависимость события от гипотез неясна и условные вероятности не могут быть просто вычислены, то такое разбиение не принесет практической пользы при решении задачи.

Пример. Партия изделий, среди которых 5% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект (если он есть) и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что годное изделие будет признано дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранное из партии изделие будет признано дефектным.

◄ Нас интересует событие ={случайно выбранное изделие признано дефектным}. С этим событием тесно связаны две гипотезы: ={поступившее на проверку изделие дефектно}, ={поступившее на проверку изделие годно}. Безусловные априорные вероятности этих гипотез равны , . Условные вероятности заданы в условии задачи: , . По формуле полной вероятности получаем . ►