Интерполяционный многочлен Ньютона

Предположим дополнительно, что рассматриваемые значения аргумента являются равноотстоящими, т. е. образуют арифметическую прогрессию.

В этом случае шаг таблицы h = х_i+1 - x_i (i = 0, 1, 2, ..., n) = const является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается.

Прежде чем перейти к рассмотрению этого вопроса, познакомимся с понятием конечных разностей.

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называют конечными разностями первого порядка:

Δ y_i = y_i+1 - y_i (i = 0, 1, 2, ...).

Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:

Δ ²y_i = Δ yⁱ⁺¹ - Δ y_i (i = 0, 1, 2, ...)

Для записи конечных разностей используются горизонтальные и диагональные таблицы.

Горизонтальная таблица

Диагональная таблица

Формула Ньютона «вперед»:

где n – порядок полинома, h – шаг (расстояние между узлами).

Первый порядок:

Второй порядок:

Формула Ньютона «назад»:

4.2. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы используются для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

Уравнения в общем случае можно представить следующим образом:

f(x)=0.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими считаются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные).

Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-й степени с действительными коэффициентами:

f(x)=a₀+a₁x+...+a_n-1x^n-1+a_n xⁿ=0 .

Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными, например: x³+x²+2e^x+5=0; 2x-sin3x=0.

Задача решения уравнения заключается в нахождении таких значений х, которые обращают его в тождество.