Кольцо многочленов с матричными коэффициентами.

Пусть P – поле, - кольцо многочленов с матричными коэффициентами. В силу не коммутативности кольца матриц возникают некоторые сложности с вычислением значения многочлена, делением многочленов. Соответственно определяется левое и правое значение многочлена (в зависимости с какой стороны записана переменная), а также левое и правое деление многочленов с остатком.

Теорема 6.4 (Обобщенная теорема Безу) Остаток деления многочлена на двучлен слева (справа) равен левому (правому) значению многочлена.

Доказательство. Нудновато

Теорема 6.5. Матрицы и эквивалентны тогда и только тогда, когда матрицы и подобны.

Доказательство. Пусть A и B подобны, то есть . Тогда , матрица U – унимодулярная.

Пусть матрицы и эквивалентны. Тогда найдутся унимодулярные матрицы и , что . Равенство запишем в виде . Поделим многочлен на справа, а на слева. Получим . Раскроем скобки, получим . Справа стоит многочлен степени не выше 1, значит . Тем самым установлено равенство или и . Для доказательства подобия осталось показать невырожденность матрицы . Поскольку , то поделив справа на имеем , и, значит, .