Интерполяционная формула Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа есть формула полинома степени , проходящего через все узлы интерполяции. То есть, через точки можно провести единственный полином степени n

Построим такой полином.

Введём полином

Легко убедится, что во всех точках кроме точки .

, если

, если

Отсюда следует, что искомый полином, проходящий через все табличные точки можно представить в виде

Так как - это полином степени , то и тоже является полиномом степени .

Другого полинома отличного от полинома Лагранжа проходящего через все узлы быть не может. С помощью полинома Лагранжа можно вычислить приближённое значение аппроксимируемой функции для любого . Таким образом, нахождение аппроксимируемой функции для значений х внутри заданного отрезка , называется интерполяцией, а за пределами экстраполяцией. Экстраполяция даёт значительно большую погрешность, чем интерполяция, поэтому её желательно избегать.

Вычисление полинома Лагранжа обычно не представляет трудности, однако пользоваться им следует с достаточной осторожностью. Дело в том, что полином Лагранжа, особенно при больших значениях может испытывать резкие колебания (особенно сильные вблизи концов отрезка интерполирования ). Поэтому при некоторых значениях аргумента полином Лагранжа может давать значительную погрешность.

Эта погрешность непрерывно распределена на отрезке . При равноотстоящих узлах наибольшая точность наблюдается в середине интервала , а наименьшая вблизи концов интервала. Можно построить интерполяционный полином для которого погрешность равномерно распределена по отрезку , для этого узлы должны являться корнем полинома Чебышева.

Метод 2

СПЛАЙНЫ

При большом числе узлов интерполяции { } использование полинома Лагранжа может оказаться нежелательным, в этом случае аппроксимацию можно производить с помощью сплайнов.

Сплайн – это функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всём заданном отрезке [a,b], а на каждом частичном отрезке { } в отдельности является полиномом некоторой степени. Максимальная по всем частичным отрезкам степень полинома называется степенью сплайна. Простейшим сплайном, сплайном 1-й степени, является кусочно-линейная функция. Представим уравнение сплайна для -го интервала в виде уравнения . Найдём коэффициенты сплайна и для этого используем следующие условия непрерывности.

Из этих условий получаем

Метод 3