Численное дифференцирование.

Как правило, формулы численного дифференцирования применяются для вычисления производной таблично заданной функции вида , либо для функций, вычислить производную которой аналитически слишком сложно.

Суть численного вычисления производной сводится к замене исходной табличной функции , где , приближающей функцией, которую можно легко вычислить. Чаще всего в роли приближающей функции выбирается интерполяционный многочлен , в этом случае производные вычисляются дифференцированием многочлена. На практике, как правило, вычисляются производные 1-го и 2-го порядков.

В качестве первого приближения функцию можно аппроксимировать отрезками прямой:

, тогда первую производную можно записать как:

.

Рассмотрим случай аппроксимации функции с помощью многочлена, тогда имеем:

,

формула для 1-ой производной:

,

формула для вычисления 2-ой производной:

.

Применяя разделённые разности формулы численного дифференцирования могут быть записаны в виде:

,

,

.

В случае равностоящих узлов, т.е. формулы численного дифференцирования примут вид:

,

,

.