Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона
Запишем для функции f(x), заданной своими значениями в равноотстоящих узлах первый интерполяционный многочлен Ньютона:
Перепишем этот полином, производя перемножение скобок:
Дифференцируя по t , получим аналогично формуле (6.16):
(6.21)
Подобным путем можно получить и производные функции f(x) более высоких порядков. Однако каждый раз, вычисляя значение производной функции f(x) в фиксированной точке х, в качестве х0 следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.
Формула (6.21) существенно упрощается, если исходным значением х оказывается один из узлов таблицы. Так как в этом случае каждый узел можно считать начальным, то принимая х=х0, t=0, получаем:
Эта формула позволяет точно получать значения производных функций, заданных таблично.
Выведем формулу погрешности дифференцирования. Используя формулу (6.17) применительно к первому интерполяционному многочлену Ньютона, запишем:
где ‑ промежуточное значение между и заданной точкой х. Предполагая, что f(x) дифференцируема п+1 раз, получим для оценки погрешности дифференцирования (по аналогии с формулой (6.18)):
Для случая оценки погрешности в узле таблицы получим:
.
На практике оценивать непросто, поэтому при малых h приближенно полагают:
Что позволяет использовать приближенную формулу
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 401;