Численное дифференцирование с помощью интерполяционных полиномов

Если шаг в таблице постоянный, то на первом этапе строят интерполяционный полином Ньютона.

Найдем первую производную от этого полинома.

(4.1)

Аналогично,

(4.2)

Если производную нужно вычислить в каком-либо узле таблицы (например, в точке х=х₀), то формулы (4.1) и (4.2) упрощаются, так как

(4.3)

(4.4)

Пример 4.1. Зависимость вязкости (η) нитробензола от температуры выражается следующими экспериментальными данными [5]:

Найти абсолютный температурный коэффициент вязкости
а) при Т=288,15 К; b) при температуре Т=283,15 К.

Решение. Так как шаг в приведенной выше таблице – постоянный, для решения задачи воспользуемся формулой (4.1). Составим таблицу конечных разностей:

Имеем:

Подставляя в приведенную формулу данные из таблицы, получаем:

Найдем теперь значение производной в узле таблицы – при Т=283,15.

В этом случае и можно воспользоваться формулой (4.3).

Имеем:

Данный пример приведен исключительно в иллюстративных целях, чтобы показать, как работают формулы численного дифференцирования. При решении реальной задачи, связанной с вычислением производных, лучше, на наш взгляд, получить уравнение интерполяционного полинома, как это сделано в разделе 3, а затем вычислить от него производную/ые. Можно воспользоваться также программой, приведенной на с. 66.

Для вычисления значений производных в узлах таблицы в зависимости от количества узлов и расположения точки, в которой нужно вычислить производную, существуют формулы численного дифференцирования, не такие громоздкие, как формулы (4.1) и (4.2). Приведем некоторые из них (см. табл. 4.1). Шаг в таблице должен быть постоянным.

Отметим, что численное дифференцирование относится к числу некорректных задач. Это означает, что небольшие погрешности в исходных данных могут привести к большим погрешностям в результате решения задачи. По этой же причине следует крайне осторожно пользоваться формулами численного дифференцирования при вычислении производных старших порядков.

Таблица 4.1

Формулы численного дифференцирования

Формула	Оценка погрешности

Пример 4.2. Функция задана следующей таблицей.

Вычислить значение производной в точке х=2 по одной из приведенных в табл. 4.1 формул.

Решение. Выберем формулу, содержащую 5 точек таблицы.