Метод простой итерации.

Данный метод наиболее удобен с точки зрения организации процесса итерации. Он достаточно быстрый, но может быть расходящимся. Метод простой итерации базируется на преобразовании исходного уравнения к виду , при этом для сходимости итерационного процесса требуется выполнение условия , где - некоторая константа.

На втором этапе необходимо задать начальное приближение , принадлежащем интервалу нахождения корня, а также число - заданную точность.

Вычисляем следующее приближение . Повторяем итерационную процедуру пока .

Задание на лабораторную работу №3

№1

организовать алгоритм нахождения корней квадратного уравнения методом простой итерации, оценить сходимость процесса итераций в зависимости от преобразования уравнения:

преобразование

1.

2. .

Тогда в преобразованном исходном уравнении можно получить оценку о сходимости итераций. Воспользуемся для преобразованного уравнения формулой Лагранжа и оценим поведение функции в окрестности произвольной точки :

, где

Если на функцию наложить условие , то модули приращения будут зависеть от параметра . Отсюда следует условие для преобразования исходного уравнения: правая часть уравнения должна иметь значение по модулю меньше единицы, т.е. производная правой части окрестности корня должна быть меньше единицы. Иначе итерационный процесс будет расходящимся.

№2

Для заданного числа Маха и угла поворота потока найти угол наклона косого скачка уплотнения . Задачу решить двумя методами – методом деления пополам и любой подпрограммой из библиотеки IMSL. Сравнить потребное число итераций при одинаковом начальном .

, где - скорость потока; - скорость звука.

, где для воздуха.

Данное трансцендентное уравнение имеет два вещественных корня и . В качестве нулевого приближения можно воспользоваться известными аналитическими решениями.

Если , то ,

.

Точности нахождения корней , назначить следующие: , ,