Формула Адамса для предиктора и корректора.

Для запуска многошагового метода расчёта «стартовых точек» используют одношаговые методы, т.е. рассчитывается необходимое количество для запуска многошагового метода.

Идея метода Адамса достаточно проста:

тогда значение функции в следующей точке можно записать через интеграл с помощью .

Если воспользоваться задачей интерполирования, то подынтегральную функцию можно представить в виде интерполяционного многочлена из условий прохождения его через предыдущих точек.

Чаще всего метод Адамса используют для 4-х точек

Используя прямой метод Адамса, мы решаем задачу предиктора по многочлену, проведённому через точки, мы экстраполируем значения функции.

Поскольку в математическую оценку для задачи экстраполяции получить практически невозможно, то для уточнения можно использовать интерполяционную процедуру корректора. Т.е. включить в расчёт значение найденного .

Многошаговые методы достаточно точные, и, если ДУ не имеет особенностей, требуемая точность достигается на более крупном шаге интегрирования по сравнению с одношаговыми методами.

Метод Рунге-Кутта

Если мы воспользуемся рядом Тейлора, то приращение функции можно записать через коэффициенты ряда:

В методе Рунге-Кутта разницу приращений можно представить в виде функций и , если воспользоваться двумя точками:

и

коэффициенты и будут найдены из условий совпадения искомой функции с соответствующими членами ряда Тейлора.

В общем виде можно получить обобщенное выражение для поиска функций :

, где .

Таким образом, задаваясь различными , получим рекуррентные формулы, являющиеся формулами Рунге-Кутта.

Наиболее часто в методе Рунге-Кутта используется метод 3-го и 4-го порядка:

Пример.