Численное дифференцирование
Задача приближенного вычисления производной может возникнуть в тех случаях, когда неизвестно аналитическое выражение для исследуемой функции. Функция может быть задана таблично, или известен только график функции, полученный, например, в результате показаний датчиков параметров технологического процесса.
Иногда, при решении некоторых задач на компьютере, из-за громоздкости выкладок может оказаться более удобным вычисление производных численным методом, чем аналитическим. При этом, разумеется, необходимо обосновать применяемый численный метод, т. е. убедиться в том, что погрешность численного метода находится в приемлемых границах.
Одним из эффективных методов решения дифференциальных уравнений является разностный метод, когда вместо искомой функции рассматривается таблица ее значений в определенных точках, при этом производные приближенно заменяются разностными формулами.
5.1.Графическое дифференцирование
Пусть известен график функции у = f(х) на отрезке [а,b].Можно построить график производной функции, вспомнив ее геометрический смысл. Воспользуемся тем фактом, что производная функции в точке х равна тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной к ее графику в этой точке.
Если х = х0,найдем у0 = f(x0)с помощью графика и затем проведем касательную АВ к графику функции в точке (х0, y0) (рис. 5.1). Проведем прямую, параллельную касательной АВ, через точку (-1, 0) и найдем точку у1ее пересечения с осью ординат. Тогда значение у1равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс, т. е. производной функции f(x)в точке х0:
у1 = = tgα = f ¢(x0), и точка М0 (х0, у1) принадлежит графику производной.
Рис. 5.1
Чтобы построить график производной, необходимо разбить отрезок [а, b]на несколько частей точками хi, затем для каждой точки графически построить значение производной и соединить полученные точки плавной кривой с помощью лекал.
На рис. 5.2 показано построение пяти точек М1, М2,... , М5и графика производной.
Алгоритм построения графика производной:
1. Строим касательную к графику функции у = f(x)в точке (х1, f(x1));из точки (-1, 0) параллельно касательной в точке (х1, f(x1)) проведем прямую до пересечения с осью ординат; эта точка пересечения дает значение производной f ¢(х1).Строим точку М1(х1, f ¢(х1)).
2. Аналогично построим остальные точки М2, М3, М4и М5.
3. Соединяем точки М1, М2, М3, М4, М5плавной кривой.
|
Рис. 5.2
Полученная кривая является графиком производной.
Точность графического способа определения производной невысока. Мы приводим описание этого способа только в учебных целях.
Замечание. Если в алгоритме построения графика производной вместо точки (-1, 0) взять точку (-l,0), где l > 0, то график будет построен в другом масштабе по оси ординат.
5.2.Разностные формулы
а) Разностные формулы для обыкновенных производных
Разностные формулы для приближенного вычисления производной подсказаны самим определением производной. Пусть значения функции в точках xi обозначены через yi:
yi = f(xi), xi = a+ ih, i = 0, 1, ... , n; h =
Мы рассматриваем случай равномерного распределения точек на отрезке [a, b]. Для приближенного вычисления производных в точках xi можно использовать следующие разностные формулы, или разностные производные.
. (5.1)
. (5.2)
. (5.3)
Так как предел отношения (5.1) при h ® 0 равен правой производной в точке хi, то это отношение иногда называют правой разностной производнойв точке xi.По аналогичной причине отношение (5.2) называют левой разностной производнойв точке xi.Отношение (5.3) называют центральной разностной производнойв точке xi.
Оценим погрешность разностных формул (5.1)–(5.3), предполагая, что функция f(x) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки xi:
f(x) = f(xi)+ . (5.4)
Полагая в (5.4) х = xi + h или х = хi - h, получим
yi+1 = f(xi + h) = yi + . (5.5)
yi-1 = f(xi - h) = yi - . (5.6)
Учитывая (5.5) и (5.6), имеем
, (5.7)
, (5.8)
. (5.9)
Из последних соотношений следует, что разностная формула (5.3) имеет погрешность на порядок меньшую, чем разностные формулы (5.1) и (5.2).
Производные высших порядков можно приближенно вычислять по формулам, полученным с помощью последовательного применения разностных соотношений (5.1)–(5.3).
Разностная формула для второй производной (разностная производная второго порядка)имеет вид
. (5.10)
Непосредственной подстановкой разложений (5.5) и (5.6) в формулу (5.10) можно получить зависимость между второй производной функции и разностной формулой для производной второго порядка:
. (5.11)
б) Разностные формулы для частных производных
Разностные формулы для частных производных аналогичны формулам (5.1)–(5.3), (5.10).
Пусть функция двух переменных и = f(x, у)определена в прямоугольной области а1£ х £ b1, а2£ у£ b2.
Определение 5.1.Назовем сеточной областьюмножество точек (xi, yj),где
xi = a1+ ih1, i = 0, 1, ... , n1; h1= (b1 - a1)/n1,
yj = a2 + jh2, j = 0, l, ... , n2; h2 = (b2 - a2)/n2.
На рис. 5.4 изображена сеточная область для п1= 5, п2 = 5, которая состоит из 36 точек.
Введем обозначение uij = f(xi, yi).
Тогда для частных производных первого и второго порядка по переменной х можно записать разностные формулы (5.1)–(5.3) и (5.10):
. (5.12)
. (5.13)
. (5.14)
(5.15)
Аналогичные разностные формулы можно записать и для частных производных первого и второго порядка по переменной у:
. (5.16)
. (5.17)
. (5.18)
(5.19)
Запишем разностные формулы для смешанных производных:
(5.20)
(5.21)
(5.22)
5.3. Вычисление производных с помощью интерполяционных формул
Разностные формулы для производных не подходят в тех случаях, когда необходимо вычислить производную в произвольной точке, не совпадающей с узлами xi.В этих случаях естественно воспользоваться интерполяционными формулами.
а) Равномерное распределение узлов
Пусть заданы значения функции yi = f(xi)в узлах хi,равномерно распределенных на отрезке [а, b]:
xi = а + ih, i = 0, 1,..., n; h = (b - a)/n.
Построим формулы приближенного дифференцирования с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона(4.13), которую после некоторых упрощений можно записать в виде
Рn(х) = y0+ qóy0+ , (5.23)
где q = (x – x0)/h.
Мы предполагаем, что узлы интерполяции распределены на отрезке [а, b]равномерно с шагом h.
Выберем в качестве х0узел, ближайший к точке х. Дифференцируя (5.23) по переменной х и учитывая, что
,
получим приближенные формулы для вычисления производных:
, (5.24)
. (5.25)
Чем больше слагаемых в формулах (5.24) и (5.25) используется, тем выше точность вычисления производных. Эти формулы дают хорошие приближения для точек, близких к значению х0(левому концу отрезка [а, b]).
Если х = х0,то q = 0 и для вычисления производных в узлах xi получим формулы
, (5.26)
. (5.27)
Очевидно, что вторая интерполяционная формула Ньютонапозволяет вывести формулы для вычисления производных в точках, близких к правому краю хn отрезка [а, b]:
Рn(х) = yn+ qóyn-1+ , (5.28)
, (5.29)
. (5.30)
При x = xn получим
, (5.31)
. (5.32)
Выведем формулы для вычисления производной с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа:
Ln(x) = × ,
y(x) = Ln(x) +
В случае равномерного распределения узлов с помощью обозначений
q = , q[n+1] = q(q -1)...(q - n)
получим
Пn+1(x) = (х - х0)(х – х1) ...(х - хп) = hn + 1q(q -1)...(q-n) = hn+1 q[n+1],П׳n+1(xi) = (хi - х0)(хi – х1) ...(хi - хп) = hni(i-1)...1 (-1)...(-n+i) = (-1)n-1hni!(n-i)!.
Тогда полином Лагранжа запишем в виде
Ln(x) = .
Найдем производную
y׳(x) = L׳n(x) = . (5.33)
С помощью (5.33) получим формулы для вычисления производной в точках xi при различных значениях п:
1) п = 2. Используются три точки, и производная в
этих точках выражается формулами
(5.34)
2) n = 3 (четыре точки).
(5.35)
3) n = 4 (пять точек).
(5.36)
б) Неравномерное распределение узлов
Пусть известны значения yi функции в узлах хi:
x0 < x1 <x2 <...< xn-1 <xn.
В этом случае для вычисления производных используют интерполяционный многочлен. Предположим, что точка х расположена ближе к начальному узлу х0,тогда мы можем применить первый интерполяционный многочлен Ньютона
y(x) = y(x0) +(x - x0)y(x0, x1) + (x - x0)(x - x1)y(x0, x1, x2) + (x - x0)(x - x1)(x - x2)y(x0, x1, x2, x3) + ...
Здесь использованы обозначения для разделенных разностей:
,
,
,...
Обозначим через разность (х - xi)и запишем многочлен Ньютона в виде
y(x) = y(x0) + ξ0y(x0, x1) + ξ0ξ1y(x0, x1, x2) + ξ0ξ1ξ2y(x0, x1, x2, x3) + ... (5.37)
Теперь можем вывести формулы для производных:
у'(х) = у(х0, х1) + (ξ0 + ξ1)у(х0, х1, х2) + (ξ0ξ1+ ξ1ξ2 + ξ0ξ2) y(x0, x1, x2, x3) + ...
у"(х) = 2 y(x0, x1, x2) + 2(ξ0 + ξ1 + ξ2) y(x0, x1, x2, x3) + ...
y(k)(x) = k![y(x0, x1, ..., xk) + (ξ0 + ξ1 +...+ ξk)y(x0, x1, ..., xk+1) +
+ (5.38)
Оставляя в (5.38) несколько слагаемых, получим формулы для приближенного вычисления производных. При этом порядок погрешности по отношению к шагу разбиения h равен числу оставленных членов, или разности между числом узлов интерполяции и порядком производной.
Приведем некоторые простые формулы (h = max hi):
1. Первая производная по двум точкам:
y'(x) = y(x0, x1) + O(h) = (5.39)
Первая производная по трем точкам:
,
, (5.40)
2. Вторая производная по трем точкам
(5.41)
Вторая производная по четырем точкам:
[
] . (5.42)
Третья производная по четырем точкам:
. (5.43)
5.4. Практическая оценка погрешности. Метод Рунге-Ромберга
(Рунге Карл Давид Тольме(30.8.1856–3.1.1927) – немецкий физик и математик)
Рассмотрим метод Рунге для повышения порядка точности формул для вычисления производных на примере формулы (5.11):
(5.44)
Предполагая, что функция f(x)четырежды дифференцируема, погрешность разностной формулы для второй производной можно представить в виде
(5.45)
Вычислим по формуле (5.44) вторую производную в той же точке хi, но используя сетку с шагом k·h, k – целое, например с k = 2:
(5.46)
Погрешность формулы (5.46) имеет вид
(5.47)
Вычитая (5.45) из (5.47), получим
- (5.48)
Отсюда для погрешности получим первую формулу Рунге:
(5.49)
Теперь вторую производную в точке xi можно вычислить по уточненной формуле (второй формуле Рунге):
(5.50)
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Приближение функций | | | Численное интегрирование |
Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 485;