Однофакторный дисперсионный комплекс

Дисперсионный анализ разработан и введен в практику сельскохозяйственных и биологических исследований английским ученым Р. А. Фишером, который открыл закон распределения отношения средних квадратов (дисперсий).

Дисперсионный анализ широко используется для планирования эксперимента и статистической обработки его данных. Если в недалеком прошлом считали, что роль математика состоит лишь в анализе экспериментальных данных, то работы Р. А. Фишера коренным образом изменили эту точку зрения, и в настоящее время статистическое планирование опыта в соответствии с требованиями дисперсионного анализа и математическая интерпретация результатов: непременные условия успешного получения ответов на вопросы, интересующие экспериментатора. Статистически обоснованный план эксперимента определяет и метод математического анализа результатов. Поэтому современный эксперимент нельзя правильно спланировать, не зная основ дисперсионного анализа.

При дисперсионном анализе одновременно обрабатывают данные нескольких выборок (вариантов), составляющих единый статистический комплекс, оформленный в виде специальной рабочей таблицы. Структура статистического комплекса и его последующий анализ определяются схемой и методикой эксперимента.

Сущностью дисперсионного анализа является расчленение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на части – компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости действия и взаимодействия изучаемых факторов по F–критерию.

Если обрабатывают однофакторные статистические комплексы, состоящие из нескольких независимых выборок, например
l–вариантов в вегетационном опыте, то общая изменчивость результативного признака, измеряемая общей суммой квадратов С_Y, расчленяется на два компонента: варьирование между выборками (вариантами) С_V и внутри выборок C_z, Следовательно, в общей форме изменчивость признака может быть представлена выражением:

(14.1)

Здесь вариация между выборками (вариантами) представляет ту часть общей дисперсии, которая обусловлена действием изучаемых факторов, а дисперсия внутри выборок характеризует случайное варьирование изучаемого признака, т. е. ошибку эксперимента.

Общее число степеней свободы (N – 1) также расчленяется на две части – степени свободы для вариантов (l – 1) и для случайного варьирования (N – l);

Суммы квадратов отклонений по данным эксперимента – статистического комплекса с l-вариантами – обычно находят в такой последовательности. При общем числе наблюдений N определяются суммы по вариантам V и общая сумма всех наблюдений ΣХ. Затем вычисляются:

1 корректирующий фактор (поправка) (14.2)

2 общая сумма квадратов (14.3)

3 сумму квадратов для вариантов (14.4)

4 сумму квадратов для ошибки (14.5)

Две последние суммы квадратов С_Y и C_Z делятся на соответствующие им степени свободы, т. е. приводятся к сравниваемому виду – одной степени свободы вариации. В результате получают два средних квадрата:

вариантов (14.6)

и ошибки (14.7)

Эти средние квадраты и используют в дисперсионном анализе для оценки значимости действия изучаемых факторов. Оценка проводится путем сравнения дисперсии вариантов с дисперсией ошибки по критерию Фишера:

. (14.8)

Таким образом, за базу – единицу сравнения принимают средний квадрат случайной дисперсии, которая определяет случайную ошибку эксперимента. При этом проверяемой нулевой гипотезой служит предположение: все выборочные средние являются оценками одной генеральной средней и, следовательно, различия между ними несущественны. Если F_факт < F_теop, то нулевая гипотеза Но: d = 0 не отвергается; между всеми выборочными средними нет существенных различий и на этом проверка заканчивается. Нулевая гипотеза отвергается, когда F_факт ≥ F_теop.

В этом случае дополнительно проводят оценку, между какими средними имеются значимые различия.

Теоретическое значение критерия F для принятого в исследовании уровня значимости находят по таблицам приложений с учетом числа степеней свободы для дисперсии вариантов и случайной дисперсии. В большинстве случаев избирают 5%–ный, а при более строгом подходе 1%–ный или даже 0,1%–ный уровень значимости.

Вопросы для самоконтроля

1 Сущность дисперсионного анализа.

2 Для каких целей используется дисперсионный анализ?

3 Дайте определения терминам, используемые в дисперсионном анализе: результативный признак, фактор и его градации, градации комплекса, дисперсионный комплекс, факториальное, случайное и общее влияние.

4 В чем заключается принцип дисперсионного анализа?

5 В чем заключается разница факториального и случайного влияний?

6 При каких условиях факториальному влиянию приписывается большая достоверность?

7 На сколько компонентов расчленяется общая сумма квадратов в однофакторном комплексе? Назовите их.

8 Расчленяется ли общее число степеней свободы в однофакторном комплексе?

9 Напишите последовательность проведения расчетов в однофакторном комплексе.

10 Какой критерий используется для оценки значимости действия изучаемых факторов? Напишите формулу этого критерия.

11 Сформулируйте условия, при которых нулевая гипотеза (Н₀) подтверждается или отвергается.

ТЕМА 15 Многофакторный дисперсионный анализ

15.3 Многофакторный дисперсионный анализ

15.4 Преобразования

15.5 Универсальное использование дисперсий