Многофакторный дисперсионный комплекс

Ясное представление о математической модели дисперсионного анализа облегчает понимание необходимых вычислительных операций, особенно при обработке данных многофакторных опытов, в которых больше источников варьирования, чем в простых, однофакторных опытах. Например, в двухфакторном опыте, поставленном методом обычных повторений, сумма квадратов для вариантов C_V расчленяется на три, а в трехфакторном – на семь компонентов. Общая сумма квадратов для этих опытов будет представлена следующими выражениями (в скобках указаны суммы квадратов для изучаемых факторов A, В, С и их взаимодействия):

C_Y = (С_А + С_В + С_АB) + С_Z (15.1)

C_Y = (С_А + С_В + С_C + С_АB+ С_АC + С_BC+ С_ABC) + С_Z (15.2)

Соответственно указанным компонентам варьирования результативного признака разлагают и общее число степеней свободы.

Многофакторный дисперсионный комплекс – это совокупность исходных наблюдений, позволяющих статистически оценить действие и взаимодействие нескольких изучаемых факторов на изменчивость результативного признака. Эффект взаимодействия составляет ту часть общего варьирования, которая вызвана различным действием одного фактора при разных градациях другого. Специфическое действие сочетаний в эксперименте выявляется тогда, когда при одной градации первого фактора второй действует слабо или угнетающе, а при другой градации он проявляется сильно и стимулирует развитие результативного признака.

В эксперименте часто эффект от совместного применения изучаемых факторов больше (синергизм) или меньше (антагонизм) суммы эффектов от раздельного применения каждого из них. Следовательно, существует взаимодействие факторов: в первом случае положительное, а во втором – отрицательное. Когда факторы не взаимодействуют, прибавка от совместного применения их равна сумме прибавок от раздельного воздействия (аддитивизм).

Дисперсионный анализ данных многофакторного комплекса проводится в два этапа. Первый этап – разложение общей вариации результативного признака на варьирование вариантов и остаточное: C_Y = C_V + C_Z. На втором этапе сумма квадратов отклонения для вариантов разлагается на компоненты, соответствующие источникам варьирования – главные эффекты изучаемых факторов и их взаимодействия. В двухфакторном опыте:

C_V = C_A + С_B + C_AB, (15.3)

в трехфакторном:

C_V = C_A + С_B + С_C + C_AB + C_AC + C_BC + C_ABC. (15.4)

Дисперсионный анализ двухфакторного анализа по изучению градаций фактора А (число вариантов l_A) и градаций фактора В (число вариантов l_B), проведенного в n повторностях, осуществляется в следующие этапы:

1 Определяются суммы и средние по вариантам, общая сумма и средний урожай по опыту.

2 Вычисляются общая сумма квадратов отклонений, сумма квадратов для вариантов и остатка:

N = l_A × l_B × n; (15.5)

; (15.6)

; (15.7)

; (15.8)

(15.9)

Для вычисления сумм квадратов по факторам А, В и взаимодействию АВ составляется вспомогательная таблица, в которую записываются суммы по вариантам. Суммируя цифры, находятся суммы А, суммы В и вычисляются суммы квадратов отклонений для главных эффектов и взаимодействия.

Сумма квадратов для фактора А:

(15.10)

при (l_А – 1) степенях свободы.

Сумма квадратов для фактора В:

(15.11)

при (l_В – 1) степенях свободы.

Сумма квадратов для взаимодействия АВ находится по разности:

(15.12)

при (l_А – 1)×(l_В – 1) степенях свободы.

Суммы квадратов записывают в таблицу дисперсионного анализа и определяют фактические значения критерия F (таблица 15.1).

Таблица 15.1 – Результаты двухфакторного дисперсионного анализа

Преобразования

Правильное использование дисперсионного анализа для обработки экспериментального материала предполагает однородность дисперсий по вариантам (выборкам), нормальное или близкое к нему распределение варьирующих величин, значения которых получают независимо одно от другого. В исследованиях независимость сравнения достигается рендомизированным размещением вариантов в опыте и случайным отбором проб в выборку. Когда есть основания предполагать неоднородность дисперсий по выборкам, о чем обычно свидетельствуют большие различия в варьировании по вариантам, то рекомендуется преобразовать (трансформировать) исходные данные. Трансформация дает возможность уменьшить пределы варьирования, устранить неоднородность дисперсий по выборкам и провести сравнение результатов более точно.

Наиболее подходящие и чаще всего применяемые преобразования следующие:

- логарифмические, когда каждое значение X трансформируется в lgX или в ln (X – l), если некоторые наблюдения равны нулю;

- трансформация данных подсчета численности путем извлечения квадратного корня из X, т. е. или , когда некоторые наблюдения дают нулевые или очень небольшие значения.

Преобразованные значений обрабатываются по схеме дисперсионного анализа и после проведенных оценок переходят обратно к первоначальным единицам измерения. Средние, полученные в процессе преобразования, будут несколько отличаться от средних, полученных по исходным данным, но разница обычно не велика, и более правильным средним будет значение, полученное обратным переходом.