Периодические функции: амплитуда, период и фазовый сдвиг

Исследование периодических процессов занимает центральное место в современной математике, физике, радиотехнике и теоретической электротехнике. В основе анализа любых осцилляторных систем лежит гармонический анализ, позволяющий описывать колебательные явления с помощью тригонометрических функций. Различные природные и технические процессы — от колебаний механического маятника до распределения переменного тока в электрических сетях — подчиняются строгим геометрическим и тригонометрическим законам. Понимание ключевых параметров гармонических колебаний, таких как амплитуда, период, угол запаздывания и угол опережения, необходимо для точного моделирования динамических систем.

Математические основы и свойства периодических функций. В математическом анализе функция y = f(x) называются периодической функцией, если существует такое не равное нулю число T, называемое периодом функции, что для любого значения аргумента x выполняются равенства f(x + T) = f(x) и f(x - T) = f(x). В геометрическом контексте это означает, что график функции регулярно повторяется при перемещении вдоль оси абсцисс на величину, кратную T.

Каждый из графиков базовых тригонометрических функций, показанных на Рис. 3.50...3.53, повторяется при увеличении угла A, поэтому их называют периодическими функциями.

Базовые функции y = sin A и y = cos A имеют наименьший положительный период, равный 360° (или 2π радиан). Это означает, что при изменении аргумента A на значение, кратное 360°, значения тригонометрических функций полностью воспроизводятся. Однако при изменении масштаба аргумента изменяется и частота колебаний, что влечет за собой сжатие или растяжение графика функции вдоль горизонтальной оси.

Функции y = sin A и y = cos A повторяются через каждые 360° (или 2π радиан), поэтому 360° называется периодом этих функций. Функции y = sin 2A и y = cos 2A повторяются через каждые 180° (или π радиан), поэтому 180° — это период для данных функций.

В общем случае если y = sin pA и y = cos pA (где p — константа, характеризующая угловую частоту или коэффициент масштабирования), то период функции T равен 360° / p (или 2π / p радиан). Следовательно, если y = sin 3A, то период этой функции равен 360° / 3 = 120°, а если y = cos 4A, то период этой функции равен 360° / 4 = 90°.

Анализ амплитудных характеристик гармонических колебаний. Наряду с пространственной или временной периодичностью важным параметром колебательного процесса является его интенсивность, определяемая максимальным отклонением от нулевого (равновесного) положения.

Амплитудой называется максимальное значение синусоиды (абсолютная величина наибольшего отклонения функции от оси абсцисс). Каждый из графиков, показанных на Рис. 3.50...3.53, имеет амплитуду +1 (т. е. они колеблются между +1 и -1).

При введении числового множителя перед тригонометрической функцией происходят вертикальное растяжение или сжатие графика. Однако, если y = 4 sin A, каждая из величин sin A умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды равна 4. Аналогично для функции y = 5 cos 2A амплитуда равна 5, а период составляет 360° / 2 = 180°.

Рассмотрим практическое построение графиков гармонических функций с измененными параметрами амплитуды и периода.

Пример 1. Построить график функции y = 3 sin 2A в диапазоне значений аргумента от A = 0° до A = 360°.

Для функции y = 3 sin 2A амплитуда равна 3, а период составляет 360° / 2 = 180°. Это указывает на то, что на интервале длительностью 360° умещаются ровно два полных цикла гармонического колебания.

Рис. 3.54. График гармонической функции y = 3 sin 2A на интервале от 0° до 360°

Пример 2. Построить график функции y = 4 cos 2x в диапазоне значений аргумента от x = 0° до x = 360°.

Для функции y = 4 cos 2x амплитуда равна 4, а период составляет 360° / 2 = 180°.

Рис. 3.55. График гармонической функции y = 4 cos 2x на интервале от 0° до 360°

Набросок графика y = 3 sin 2A показан на Рис. 3.54, а набросок графика y = 4 cos 2x показан на Рис. 3.55.

Фазовые сдвиги: углы запаздывания и опережения. В реальных физических процессах колебания редко начинаются из нулевой точки при t = 0 или A = 0°. Временные или пространственные смещения процессов относительно начальной системы координат учитываются с помощью фазового сдвига (начальной фазы).

Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0°. Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде y = sin (A ± α) или y = cos (A ± α), где α — сдвиг фазы (или фазовый угол) относительно канонических функций y = sin A и y = cos A.

Составив таблицу значений, можно построить график функции y = sin (A - 60°), показанный на Рис. 3.56. Если кривая y = sin A начинается в точке 0°, то кривая y = sin (A - 60°) начинается в точке 60° (т. е. ее нулевое значение расположено на 60° правее). Таким образом, говорят, что график y = sin (A - 60°) запаздывает относительно y = sin A на 60°.

Рис. 3.56. Фазовый сдвиг синусоиды y = sin (A - 60°) в сторону запаздывания

Аналогично рассматривается смещение графика в противоположную сторону по оси абсцисс. Составив таблицу значений, можно построить график функции y = cos (A + 45°), показанный на Рис. 3.57. Если кривая y = cos A начинается в точке 0°, то кривая y = cos (A + 45°) начинается в точке 45° левее (т. е. ее нулевая величина находится на 45° раньше). Таким образом, говорят, что график y = cos (A + 45°) опережает график y = cos A на 45°.

Рис. 3.57. Фазовый сдвиг косинусоиды y = cos (A + 45°) в сторону опережения

В общем виде график y = sin (A - α) запаздывает относительно y = sin A на угол α, а график функции y = sin (A + α) опережает y = sin A на угол α.

Следует отметить фундаментальное соотношение между синусом и косинусом. Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90° левее, т. е. опережает ее на 90°. Следовательно, справедливо тождество cos A = sin (A + 90°).

Комплексный анализ гармонических функций с комбинированными параметрами. При наличии коэффициента частоты p внутри аргумента тригонометрической функции определение фактического линейного или углового сдвига графика требует учета коэффициента сжатия.

Рассмотрим функцию y = 5 sin (A + 30°). Выражение 5 sin (A + 30°) опережает 5 sin A на 30° (т. е. начинается на 30° раньше). График функции y = 5 sin (A + 30°) показан на Рис. 3.58.

Рис. 3.58. График функции y = 5 sin (A + 30°) с фазовым опережением

Рассмотрим случай, когда аргумент функции содержит одновременно коэффициент частоты и фазовое смещение.

Пример 3. Построить график функции y = 7 sin (2A - π / 3) в диапазоне 0° ≤ A ≤ 360°. Для указанной функции амплитуда составляет 7, а период равен T = 2π / 2 = π радиан (или 180°).

В общем случае периодическая функция вида y = sin (pt - α) запаздывает относительно y = sin pt на величину α / p. Следовательно, функция 7 sin (2A - π / 3) запаздывает относительно 7 sin 2A на величину (π / 3) / 2, т. е. на π / 6 радиан или на 30°.

График y = 7 sin (2A - π / 3) показан на Рис. 3.59.

Рис. 3.59. График функции y = 7 sin (2A - π / 3) с учетом масштабирования и сдвига

Прикладное значение тригонометрических параметров. Свойства тригонометрических функций, включая амплитудные и фазовые преобразования, находят широкое применение в инженерных науках.

В радиотехнике и теории связи амплитудная модуляция (АМ) и частотная модуляция (ЧМ) основываются на управлении амплитудой и периодом несущего гармонического сигнала. В электротехнике при анализе цепей переменного тока сдвиг фаз между током и напряжением, определяемый углом α, задает коэффициент мощности (cos φ), который определяет эффективность передачи электрической энергии.

Систематический подход к расчету параметров периодических функций позволяет моделировать волновые процессы в акустике, оптике, гидродинамике и квантовой механике, подтверждая фундаментальную роль тригонометрического анализа в описании естественных законов природы.

Сведения об авторах и источниках:

Авторы: Джон Берд

Источник: Инженерная математика

Данные публикации будут полезны инженерно-техническим работникам, студентам и абитуриентам технических вузов и колледжей, а также всем, кому требуется практический математический аппарат для решения инженерных задач.