Связь тригонометрических и гиперболических функций: формула Эйлера

В высшей математике, теоретической физике, электротехнике и теории колебаний связь между круговыми (тригонометрическими) и гиперболическими функциями играет фундаментальную роль. Эта дуальность основывается на теории функций комплексного переменного и строгом аналитическом аппарате, заложенном великим математиком Леонардом Эйлером. Применение мнимой единицы позволяет осуществлять непрерывный переход от реальной действительной геометрии к комплексной плоскости, объединяя экспоненциальные, тригонометрические и гиперболические структуры в единую концептуальную систему.

Настоящая статья посвящена глубокому анализу дуализма тригонометрических и гиперболических функций, выводу основных соотношений через формулу Эйлера, аналитическому доказательству гиперболических тождеств и практическим методам мнимой подстановки.

1. Теоретический базис и формула Эйлера в комплексной плоскости. Фундаментальной основой для связи экспоненциальных и круговых функций является формула Эйлера, которая устанавливает функциональную зависимость между комплексной экспонентой и тригонометрическими функциями действительного аргумента. Для любого мнимого показателя степени jθ (где j — мнимая единица, удовлетворяющая условию j² = −1, стандартно применяемая в электротехнике и физике) формула записывается в следующем виде:

cos θ + j sin θ = eʲθ (1)

Заменяя аргумент θ на −θ и учитывая четность функции косинуса (cos(−θ) = cos θ) и нечетность функции синуса (sin(−θ) = −sin θ), получаем сопряженное соотношение:

cos θ − j sin θ = e⁻ʲθ (2)

Рассматривая уравнения (1) и (2) как систему линейных алгебраических уравнений относительно cos θ и sin θ, мы можем выразить тригонометрические функции через комплексные экспоненты. Складывая уравнения (1) и (2), находим выражение для косинуса:

cos θ = ½ (eʲθ + e⁻ʲθ) (3)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получаем соответствующее выражение для синуса:

sin θ = (1 / 2j) (eʲθ − e⁻ʲθ) (4)

Формулы (3) и (4) представляют собой экспоненциальные формы тригонометрических функций. Они позволяют распространить определения синуса и косинуса на всю комплексную плоскость.

2. Переход к мнимому аргументу и определение гиперболических функций. Для того чтобы исследовать поведение тригонометрических функций при мнимом значении аргумента, осуществим формальную подстановку jθ вместо θ в выведенные выражения (3) и (4).

Для функции косинуса подстановка jθ принимает следующий вид:

cos jθ = ½ (eʲ⁽ʲθ⁾ + e⁻ʲ⁽ʲθ⁾)

Учитывая тождество для мнимой единицы j² = −1, показатель степени преобразуется: j( jθ) = j²θ = −θ, а −j( jθ) = −j²θ = θ. Таким образом, выражение упрощается:

cos jθ = ½ (e⁻θ + eθ) = ½ (eθ + e⁻θ)

Из теории гиперболических функций известно, что выражение ½ (eθ + e⁻θ) представляет собой гиперболический косинус (обозначаемый ch θ). Следовательно, справедливо соотношение:

cos jθ = ch θ (5)

Аналогичным образом проведем аналитическую подстановку мнимого аргумента jθ в выражение (4) для синуса:

sin jθ = (1 / 2j) (eʲ⁽ʲθ⁾ − e⁻ʲ⁽ʲθ⁾) = (1 / 2j) (e⁻θ − eθ)

Преобразуем знак в скобках путем вынесения минус единицы:

sin jθ = −(1 / 2j) (eθ − e⁻θ) = −(1 / j) · [½ (eθ − e⁻θ)]

Поскольку ½ (eθ − e⁻θ) по определению является гиперболическим синусом (sh θ), выражение переписывается в виде sin jθ = −(1 / j) sh θ. Умножим числитель и знаменатель дроби −1/j на j:

−(1 / j) = −(1 · j) / (j · j) = −j / j² = −j / (−1) = j

Подставляя данный результат в формулу для синуса мнимого аргумента, получаем ключевое соотношение:

sin jθ = j sh θ (6)

Уравнения (5) и (6) показывают, что косинус мнимого аргумента является чисто действительной функцией (гиперболическим косинусом), в то время как синус мнимого аргумента является чисто мнимой величиной, пропорциональной гиперболическому синусу.

3. Применение мнимого аргумента к стандартным тригонометрическим тождествам. Уравнения (5) и (6) позволяют убедиться в том, что во всех стандартных тригонометрических тождествах аргумент θ можно заменить на jθ, и при этом тождество останется абсолютно верным.

Аналитический пример 1. Проверка основного тригонометрического тождества. Задача: Проверить справедливость тождества cos² jθ + sin² jθ = 1.

Решение: Из уравнения (5) имеем cos jθ = ch θ, а из уравнения (6) получаем sin jθ = j sh θ. Подставим эти выражения в левую часть:

cos² jθ + sin² jθ = (ch θ)² + (j sh θ)² = ch² θ + j² sh² θ

Так как по определению мнимой единицы j² = −1, выражение преобразуется к виду:

cos² jθ + sin² jθ = ch² θ − sh² θ

В теории гиперболических функций фундаментальным соотношением является основное гиперболическое тождество ch² θ − sh² θ = 1. Подставляя его, окончательно получаем:

cos² jθ + sin² jθ = 1

Аналитический пример 2. Формула синуса двойного аргумента. Задача: Проверить справедливость формулы sin j2A = 2 sin jA cos jA.

Решение: Из уравнения (6), подставляя 2A вместо θ, получаем sin j2A = j sh 2A. Согласно известным гиперболическим соотношениям (Табл. 1.2 фундаментальных формул), sh 2A = 2 sh A ch A. Следовательно:

sin j2A = j (2 sh A ch A)

Учитывая определения sh A = ½ (eᴬ − e⁻ᴬ) и ch A = ½ (eᴬ + e⁻ᴬ), перепишем выражение:

sin j2A = j 2 [½ (eᴬ − e⁻ᴬ)] [½ (eᴬ + e⁻ᴬ)] = −(2 / j) [½ (eᴬ − e⁻ᴬ)] [½ (eᴬ + e⁻ᴬ)]

Подставляя обратно sin jA / j = sh A и cos jA = ch A, с учетом j² = −1, сфокусируем результат:

sin j2A = 2 sin jA cos jA

4. Гиперболические тождества и правило Осборна. По аналогии со стандартной тригонометрией, гиперболические функции удовлетворяют широкому спектру тождеств. Для доказательства гиперболических тождеств, как правило, используются два метода: а) подстановка jθ (jφ) в соответствующее тригонометрическое тождество с последующим использованием уравнений (5)–(10) и б) применение правила Осборна.

Рассмотрим прямой вывод соотношений для других функций при мнимом аргументе. Подставим jθ вместо θ в определение гиперболического косинуса ch θ = ½ (eθ + e⁻θ):

ch jθ = ½ (eʲθ + e⁻ʲθ) = cos θ (7)

Аналогично, для гиперболического синуса sh θ = ½ (eθ − e⁻θ) подстановка jθ дает:

sh jθ = ½ (eʲθ − e⁻ʲθ) = j sin θ (8)

Из уравнений (5) и (6) выведем соотношение для тангенса:

tg jθ = sin jθ / cos jθ = j sh θ / ch θ = j th θ (9)

Аналогично, используя уравнения (7) и (8), найдем выражение для гиперболического тангенса:

th jθ = sh jθ / ch jθ = j sin θ / cos θ = j tg θ (10)

Правило Осборна (Osborn's rule) утверждает: любое тригонометрическое тождество преобразуется в соответствующее гиперболическое тождество путем замены тригонометрических функций на соответствующие гиперболические (cos ➔ ch, sin ➔ sh, tg ➔ th), с изменением знака на противоположный перед каждым произведением двух синусов (или их эквивалентов).

5. Практические примеры вывода гиперболических соотношений. Пример 1. Вывод тождества для гиперболического котангенса и косеканса. Задача: Подставить jA вместо θ в тождество ctg² θ + 1 = cosec² θ и определить соответствующее гиперболическое тождество.

Решение: Перепишем исходное тождество через синус и косинус: ctg² jA + 1 = cosec² jA, то есть (cos² jA / sin² jA) + 1 = 1 / sin² jA.

Согласно уравнению (5), cos jA = ch A, а согласно уравнению (6), sin jA = j sh A. Подставляя эти соотношения, получаем:

(ch² A / j² sh² A) + 1 = 1 / j² sh² A

Поскольку j² = −1, выражение переписывается в виде:

−(ch² A / sh² A) + 1 = −(1 / sh² A)

Умножаем уравнение на −1:

(ch² A / sh² A) − 1 = 1 / sh² A ⟹ cth² A − 1 = cosech² A

Сведения об авторах и источниках:

Авторы: Джон Берд

Источник: Инженерная математика

Данные публикации будут полезны инженерно-техническим работникам, студентам и абитуриентам технических вузов и колледжей, а также всем, кому требуется практический математический аппарат для решения инженерных задач.