Графики тригонометрических функций и углы произвольной величины

Изучение тригонометрических функций составляет один из важнейших разделов фундаментальной математики и математического анализа. Понятия синуса, косинуса и тангенса находят широчайшее применение в физике, теоретической электротехнике, теории колебаний, радиотехнике и различных инженерных дисциплинах.

Для полноценного решения прикладных задач необходим глубокий анализ свойства периодичности, гармонического характера волн, а также поведение тригонометрических функций при работе с углами произвольной величины, выходящими за пределы острого угла прямоугольного треугольника.

Графики тригонометрических функций. Графический анализ позволяет наглядно проследить изменение функций при изменении аргумента. Графики основных функций y = sin A, y = cos A и y = tg A, построенные по координатным точкам для полного полного оборота в диапазоне от 0° до 360°, представлены на Рис. 3.39.

Рис. 3.39. Графики тригонометрических функций: а) y = sin A; б) y = cos A; в) y = tg A

При детальном изучении представленных функциональных зависимостей можно выделить следующие ключевые закономерности:

- Ограниченность гармонических функций: Графики синуса и косинуса являются волнами ограниченной амплитуды. Они совершают непрерывные колебания в строгом диапазоне значений от минимального до максимального, то есть между −1 и +1 (−1 ≤ y ≤ +1).

- Фазовый сдвиг: Кривая косинусоиды имеет абсолютно идентичную геометрическую форму с кривой синусоиды, однако она сдвинута относительно нее влево по оси абсцисс на 90° (или π/2 радиан). Данное соотношение описывается формулой приведения: cos A = sin (A + 90°).

- Периодичность и непрерывность: Графики функций синуса и косинуса представляют собой непрерывные гладкие кривые, повторяющиеся с основным периодом 360° (или 2π радиан). В отличие от них, график тангенса имеет точки разрыва второго рода при значениях аргумента 90° и 270° (где функция стремится к бесконечности), а сам процесс повторения значений происходит с периодом 180° (или π радиан).

Углы произвольной величины и координатные квадранты. В элементарной геометрии угол рассматривается в рамках жестких ограничений от 0° до 180°. Однако в тригонометрии угол интерпретируется как мера поворота подвижного радиус-вектора.

На Рис. 3.40 изображена декартова система координат, образованная взаимно перпендикулярными осями XX′ (ось абсцисс) и YY′ (ось ординат), пересекающимися в начале координат — точке O.

Рис. 3.40. Декартова система координат и координатные квадранты

В этой системе координат приняты следующие соглашения о знаках:
- Измерения вправо от точки O по оси XX′ и вверх по оси YY′ считаются положительными (+).
- Измерения влево от точки O по оси XX′ и вниз по оси YY′ считаются отрицательными (−).

Пусть отрезок OA представляет собой единичный радиус-вектор, способный свободно вращаться вокруг центра O:
- При повороте отрезка OA против часовой стрелки от положительного направления оси OX отсчитываемый угол считается положительным.
- При повороте отрезка OA по часовой стрелке отсчитываемый угол считается отрицательным.

Вся координатная плоскость делится осями на четыре координатные четверти (квадранты), нумерация которых идет против часовой стрелки:
1. Квадрант 1: углы от 0° до 90°.
2. Квадрант 2: углы от 90° до 180°.
3. Квадрант 3: углы от 180° до 270°.
4. Квадрант 4: углы от 270° до 360°.

Знаки тригонометрических функций по квадрантам. Рассмотрим вращение вектора OA по всем четырем координатным четвертям и построим соответствующие прямоугольные треугольники, чтобы определить знаки тригонометрических функций (см. Рис. 3.41). Длина самого вектора OA всегда принимает положительное значение, так как является радиусом описанной окружности (r > 0).

Рис. 3.41. Построение прямоугольных треугольников в четырех квадрантах

1. Первый квадрант (Квадрант 1). Пусть вектор OA повернут на любой угол θ₁ в первом квадранте. Опустим перпендикуляр AB на ось OX. В полученном прямоугольном треугольнике OAB:
- Катет OB (прилежащий) лежит на положительной оси: +.
- Катет AB (противолежащий) лежит в верхней полуплоскости: +.
- Гипотенуза OA всегда положительна: +.

Следовательно, в первом квадранте все тригонометрические функции положительны:
- sin θ₁ = (+) / (+) = +
- cos θ₁ = (+) / (+) = +
- tg θ₁ = (+) / (+) = +

2. Второй квадрант (Квадрант 2). Пусть вектор OA поворачивается далее и образует угол θ₂ во втором квадранте. Построим перпендикуляр AC на ось OX, образуя прямоугольный треугольник OAC:
- Прилежащий катет OC отрицателен (−), так как направлен влево от начала координат.
- Противолежащий катет AC положителен (+).
- Гипотенуза OA положительна (+).

Для угла θ₂ во втором квадранте получаем следующую систему знаков:
- sin θ₂ = (+) / (+) = +
- cos θ₂ = (−) / (+) = −
- tg θ₂ = (+) / (−) = −
Во втором квадранте положительным является только синус.

3. Третий квадрант (Квадрант 3). При дальнейшем вращении вектора OA на угол θ₃ в третий квадрант образуется прямоугольный треугольник OAD (с перпендикуляром AD на ось OX):
- Прилежащий катет OD отрицателен (−).
- Противолежащий катет AD отрицателен (−), так как направлен вниз.
- Гипотенуза OA положительна (+).

Для угла θ₃ в третьем квадранте имеем:
- sin θ₃ = (−) / (+) = −
- cos θ₃ = (−) / (+) = −
- tg θ₃ = (−) / (−) = +
В третьем квадранте положительным является только тангенс.

4. Четвертый квадрант (Квадрант 4). При нахождении вектора OA под углом θ₄ в четвертом квадранте строим прямоугольный треугольник OAE (с перпендикуляром AE на ось OX):
- Прилежащий катет OE положителен (+).
- Противолежащий катет AE отрицателен (−).
- Гипотенуза OA положительна (+).

Для угла θ₄ в четвертом квадранте вычисляем:
- sin θ₄ = (−) / (+) = −
- cos θ₄ = (+) / (+) = +
- tg θ₄ = (−) / (+) = −
В четвертом квадранте положительным является только косинус.

Сводное правило распределения знаков проиллюстрировано на Рис. 3.42 и Рис. 3.43. Для запоминания этого распределения в англоязычной и международной академической практике часто используется мнемоническая схема CAST (Cosinus, All, Sinus, Tangens), указывающая, какая именно функция положительна в IV, I, II и III квадрантах соответственно.

Рис. 3.42. Распределение знаков тригонометрических функций по квадрантам

Рис. 3.43. Определение симметричных углов с одинаковым значением синуса

Определение всех возможных значений углов в диапазоне от 0° до 360°. Понимание теории углов произвольной величины критически важно при обратных тригонометрических вычислениях. Стандартный инженерный калькулятор при вызове обратных функций (sin⁻¹, cos⁻¹, tg⁻¹) выдает только одно главное значение (главную ветвь обратной функции). Однако в полном круге от 0° до 360° практически всегда существуют два различных угла, удовлетворяющих заданному значению тригонометрической функции.

Проблема главного значения на калькуляторе. Пусть требуется найти все углы в диапазоне от 0° до 360°, синус которых равен 0.3261.

Если ввести значение 0.3261 в калькулятор и нажать клавишу sin⁻¹ (арксинус), устройство выдаст только один острый угол первого квадранта: θ = arcsin(0.3261) = 19.03°.

Однако, согласно Рис. 3.42, синус является положительным не только в первом, но и во втором квадранте. Как показано на Рис. 3.43, второй угол θ₂ рассчитывается на основе геометрической симметрии относительно оси ординат: θ₂ = 180° − 19.03° = 160.97°.

Проведенная проверка подтверждает корректность: sin(160.97°) = 0.3261. Таким образом, исходное уравнение в интервале [0°; 360°] имеет два корня: 19.03° и 160.97°.

Практические примеры решения обратных тригонометрических задач. Пример 1. Расчет углов при отрицательном значении синуса

Найти все углы в диапазоне от 0° до 360°, синус которых равен −0.4638.
Решение:
1. Определяем координатные четверти: поскольку значение синуса отрицательное (−), искомые углы находятся в третьем и четвертом квадрантах (см. Рис. 3.44 и Рис. 3.45).

Рис. 3.44. График функции y = sin x с отмеченными отрицательными значениями

Рис. 3.45. Схема углов в III и IV квадрантах для отрицательного синуса

2. Находим базовый острый угол приведения θ (без учета знака «минус»): θ = arcsin(0.4638) = 27.63°. (Примечание: при прямом вводе −0.4638 калькулятор выдает значение −27.632588°, что соответствует углу IV квадранта, отсчитанному по часовой стрелке).

3. Рассчитываем два искомых угла в требуемом положительном диапазоне от 0° до 360°:
- Для третьего квадранта: θ₁ = 180° + 27.63° = 207.63°.
- Для четвертого квадранта: θ₂ = 360° − 27.63° = 332.37°.
Ответ: 207.63° и 332.37°.

Пример 2. Расчет углов при положительном значении тангенса. Найти все углы в диапазоне от 0° до 360°, тангенс которых равен 1.7629.

Решение:
1. Определяем четверти: функция тангенса принимает положительные значения в первом и третьем квадрантах (см. Рис. 3.46 и Рис. 3.47).

Рис. 3.46. График функции y = tg x и точки пересечения с уровнем 1.7629

Рис. 3.47. Расположение углов I и III квадрантов с равным тангенсом

2. Вычисляем первый угол θ₁ в I квадранте через арктангенс: θ₁ = arctg(1.7629) = 60.44°.
3. Используя период тангенса в 180°, находим второй угол θ₂ в III квадранте: θ₂ = 180° + 60.44° = 240.44°.
Ответ: 60.44° и 240.44°.

Заключение. Анализ графиков тригонометрических функций и понимание закономерностей поведения углов произвольной величины образуют базисный фундамент тригонометрии. Учет знаков функций по координатным квадрантам исключает математические ошибки при обратных вычислениях и позволяет правильно находить полный спектр решений в физических и инженерно-технических задачах.

Сведения об авторах и источниках:

Авторы: Джон Берд

Источник: Инженерная математика

Данные публикации будут полезны инженерно-техническим работникам, студентам и абитуриентам технических вузов и колледжей, а также всем, кому требуется практический математический аппарат для решения инженерных задач.