Интегральная формула Коши

Заметим, что в примере = в прошлой лекции

результат получился не зависящим от радиуса . То есть при уменьшении или увеличении окружности ничего не изменится, если та же самая точка разрыва остаётся внутри, а замкнутый контур стягивается к ней, оставляя снаружи область аналитичности. Этот факт докажем в общем случае.

Теорема 1. (Интегральная теорема Коши).

Пусть некоторый замкнутый контур, - n замкнутых непересекающихся контуров, лежащих внутри . Функция является аналитической на всех этих контурах, а также внутри , но вне . Тогда .

Доказательство.

Для того, чтобы лучше понять идею доказательства, рассмотрим сначала ситуацию, когда внутри расположен один контур , то есть область аналитичности - кольцо. Можно взять какую-либо пару точек на и соответственно (чтобы точкибыли максимально близко напротив друг друга) и соединить их отрезком. Тогда для комбинированого контура, состоящего из 4 частей: , , , внутренняя область, похожая на кольцо с разрезом, это область аналитичности. Мы один раз обходим этот контур, двигаясь по внешнему против часовой стрелки, поэтому и обозначено , затем переходя на внутренний контур по , затем двигаясь по внутреннему в противоположном направлении ( ), и возвращаясь по снова на внешний контур. Чертёж:

Но если комбинированный контур окружает область аналитичности, то интеграл по нему равен 0. Внутренняя область при этом фактически становится внешней (для нового контура, который с разрезом, на правом чертеже).

При этом интегралы по и и так взаимно уничтожаются, поэтому . Но если сменить направление движение по внутреннему контуру , то интеграл по нему сменил бы знак, тогда: .

Таким образом, интегралы по и одинаковы, то есть можно без изменения результата уменьшить область, стянув её к точке разрыва, оставив снаружи какую-то часть области аналитичности.

Если внутри несколько контуров, внутри которых нарушена аналитичности или даже существование функции, то применяется похожая схема рассуждений, только надо поочерёдно соединить отрезком с , затем с и так далее, до номера n.

Получится , откуда

следует .

Теорема 2. (Интегральная формула Коши).

Пусть является аналитической на контуре и внутри него, точка лежит внутри . Тогда .

Доказательство.

В рассмотренном примере в конце прошлой лекции мы вычислили , то есть верно . Но мы можем домножить это равенство на любую комплексную константу, и тогда: . Впрочем, тогда это же верно и для константы : получаем . Мы получили выражение, очень похожее на то, которое надо доказать, но ещё не то: ведь здесь в числителе константа, а не функция. Вот если мы теперь ещё и докажем, что , или то же самое, что , то требуемое утверждение будет верно.

Рассмотрим функцию . Это функция, которая участвует в определении производной, ведь .

Таким образом, , то есть имеет конечный предел в точке , а это значит, что она ограничена в окрестности этой точки, . По теореме 1 (интегральная теорема Коши), интеграл по можно заменить на интеграл по любой малой окружности радиуса , лежащей внутри , результат при этом не изменится. Тогда = , где - максимальное значение модуля функции, - длина кривой, по которой происходит интегрирование. Но ведь по теореме 1 это должно быть верно для какого угодно малого . То есть меньше или равен любой бесконечно-малой величины. Тогда этот интеграл равен 0. То есть = = . Значит, , а тогда:

, т.е. доказано в итоге.

Интегральная формула Коши позволяет быстро вычислять интегралы по контуру вокруг точки разрыва, фактически не проводя подробное интегрирование. Достаточно убрать из знаменателя ту скобку , которая соответствует этой точке разрыва, подставить в остальную функцию и домножить на .

Обычно она применяется в таком виде:

Ведь надо вычислить именно интеграл, который обычно дан без коэффициента, так что коэффициент пишется в другой части равенства.

Пример. Вычислить .

Решение.Внутри окружности радиуса 1,5 всего одна из двух точек разрыва функции, вторая снаружи. Обозначим в качестве функцию без , как будто на делим чуть раньше, а на позже.

= , где это то, что именно обозначается в интегральной формуле Коши.

Тогда = = = .

Ответ. .

Теорема 3. (Обобщённая интегральная формула Коши).

Пусть является аналитической на контуре и внутри него, точка лежит внутри . Тогда .

Доказательство.

Продифференцируем по параметру правую и левую часть равенства в исходной интегральной формуле Коши.

= = = = .

Таким образом, .

Следующая производная от равна

= . Аналогично следующая (третья от исходной функции) равна , далее по индукции для n-й производной получим = . Тогда .

Рассмотрим примеры, похожие на предыдущий, но в которых будет 2 или 3 степень скобки . По обобщённой интегральной формуле Коши, если скобка во 2 степени, надо не просто убрать её из знаменателя, а после этого ещё и один раз продифференцировать оставшуюся функцию, и лишь затем подставлять . А если 3 степень, то 2 раза продифференцировать, но с 3-й степени начинает ещё и изменяться коэффициент из-за того, что он уже не равен 1, а будет .