Формулы вычисления вычетов.

Если простой полюс (т.е. 1-го порядка) то верна формула вычисления вычета: = .

Если - полюс порядка m, то верна формула вычисления вычета: = .

Они напрямую следуют из обычной и обобщённой интегральных формул Коши. Кстати, первая формула - частный случай второй при .

Пример.Найти вычет .

Решение. Здесь точка полюс порядка 3, конкретизируем формулу для этого порядка и этой точки:

= . Итак, = = = = = = 1.

Пример.Найти вычет .

Решение.Здесь точка полюс 1 порядка. Поэтому

= = = .

Пример *.Найти вычет .

Решение.Здесь точка полюс 2 порядка. Поэтому

= = =

= = .

Основная теорема о вычетах.Если является аналитической на некотором замкнутом контуре и в области внутри него, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то

.

Доказательство.По интегральной теореме Коши, интеграл по контуру равен сумме интегралов по n контурам внутри него.

Тогда . Но каждое слагаемое в этой сумме - интеграл по контуру вокруг одной особой точки, делённый на

, а по определению это и есть вычет в данной точке .

.

Вот и получается, что интеграл равен такой величине: умножить на сумму вычетов.

Определение вычета в .Пусть замкнутый контур, на контуре и вне его нет особых точек. Тогда интеграл называется вычетом функции в и обозначается .

Когда мы рассматривали конечную точку , то при вычислении интеграла по контуру обходили его против часовой стрелки, чтобы точка оставалась слева. А чтобы например, линия горизонта (бесконечность) оставалась с левой стороны при движении, нужно круг обходить наоборот, именно по часовой стрелке. Поэтому-то здесь изначально в определении знак минус.

Теорема (следствие из основной теоремы о вычетах).Если является аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то .

(Сумма вычетов во всех конечных особых точках + вычет в бесконечности равно 0).

Доказательство.Если в плоскости конечное количество особых точек, то среди них есть самая далёкая от начала координат. Тогда их все можно включить в круг некоторого радиуса. Ограничим все n особых точек замкнутым контуром настолько большого радиуса , чтобы все они лежали внутри круга .

По определению вычета в , = ,

а по прошлой теореме, = .

Получается, что вычет в противоположен сумме всех вычетов в конечных особых точках. Складывая эти 2 равенства, мы как раз и получим .

Чертёж. , , ... - особые точки.

Пример. Найти .

Решение.Заметим, что в знаменателе только , т.е. эта функция имеет всего лишь одну конечную особую точку. Тогда:

= . То есть надо найти вычет в точке 2 и сменить знак. = = = 2. Поэтому .

ЛЕКЦИЯ № 7. 14.10.2020

Приложения вычетов