Монотонные последовательности

Тема. Функции

 

 

Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

 

Пример: Пример

z=sin ex w=arctgcos exx-ln x

y=ex=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R+

G=[-1;1]

 

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

       
   


y=f(g(y)), " yÎE y=f(g(y)), для любого уÎЕ

Û

x=g(f(x)), " xÎD x=g(f(x)), для любого хÎD

 

Примеры:

1)y=x3 Û x=3Öy

D=R

E=R

 

 

2)y=x2 Û x=Öy

D=R+ È{0}=[0;+¥)

E=[0;+¥)

D=R- È{0}=(-¥;0]

E=[0;¥)Û x=-Öy

 

3)y=sinx

D=[-p/2;p/2]

E=[-1;1]

x=arcsiny

yÎ[-1;1]; xÎ[-p/2;p/2]

 

 
 

 


Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]

 

Определение: y=f(x), nÎN

a1=f(1)

a2=f(2)

an=f(n)

{an} – множество значений силовой последовательности nÎN или аn

n}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

аn=1/n

n}={sin1;sin2;sinn}

аn=sinn

аn=(-1)n/n

 

{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}

 

Ограниченные последовательности.

1) Ограниченная сверху, то есть существует В так что аn£В, для любого nÎN

2) Ограниченная снизу, то есть существует А так что А£bn, для любого nÎN

3) Ограниченная, то есть существует А,В так что А£аn£В, для любого nÎN Û существует С>0 так что |аn|£С, для любого nÎN.

 

Монотонные последовательности

1) возрастающая an<an+1, " nÎN

2) убывающая an>an+1, " nÎN

3) не возрастающая an³an+1, " nÎN

4) не убывающая an£an+1, " nÎN

 

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел n³N выполняется модуль разности |an-a|<ε Û " ε>0 $ N : " n³N Þ|an-a|<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

 

Lim an=0

n®¥

 

Примеры: Доказать, что ln(-1)2/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы |(-1)n-0|<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε Þ n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|an|<0.01, если n³101

* * *

an=1-1/n2

lim(1-1/n2)=1

n®+¥

Для любого ε>0 |(1-1/n2)-1|<ε

|-1/n2|<ε Þ 1/n2<ε Þ n2>1/ε Þ n>1/Öε

N=[1/Öε]+1

 

Лекция №3






Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 1223; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.026 сек.